Часть 32

Безусловный экстремум функции нескольких переменных II

1Необходимое условие локального экстремума в терминах второй производной

Теорема 32.1. Пусть функция ( ) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (0) R . Тогда если (0) — точка локального экстремума, то либо 2 ( (0)) > 0, либо 2 ( (0)) 6 0 для всех приращений в пределах этой окрестности.

Доказательство. Пусть ради определенности ( ) имеет в (0) локальный минимум, но условие 2 ( (0)) > 0 не выполняется. Тогда найдутся такие 1, 2, . . . , , что

∑∑

∂2

2 ( (0)) = ∂ ∂ ( (0)) < 0.

=1 =1

Рассмотрим функцию ( ) = ( (0)1 + 1, (0)2 + 2, . . . , (0) + ), определенную при всех достаточно малых по модулю (в пределах этой окрестности). Функция ( ) имеет локальный минимум при = 0. Заметим, что

′′(0) = 2 ( (0)) < 0.

Но тогда (0) — локальный максимум по теореме 23.4.

[:|||||:]

2Критерий Сильвестра

Теорема 32.2 (Положительная определенность). Квадратичная форма ( ) является положительно определенной т.и.т.т., когда все главные миноры матрицы ( ) строго положительные.

Главными минорами называются миноры вида

					11	12				21	22
										11	12
|	11	|	,		21	22		, . . . ,	.		.
									..		..
										1	2

. . . 2
. . . 1			.
.		.
	.. ..
. . .

Следствие 32.3 (Отрицательная определенность). Квадратичная форма ( ) является отрицательно определенной т.и.т.т., когда квадратичная форма − ( ) положительно определена, т.е. для всех главных миноров матрицы ( ) порядка выполняется (−1) >

0.

91