Часть 46

Бонусная часть

Здесь представлен различный полезный справочный материал, который отсутствует в основной части.

1Различные равенства и неравенства

12 + 22 + · · · + 2 =										( +1)(2 +1)							.
													6
	1 + +			2	+ · · · +						=		1− +1			при				.
													1−						̸= 1
13 + 23 + · · · + 3 = (												( +1)			)2.
												2
	(		2		2	+ · · ·								2
		0)	+ (		1)				+ ( )					=		(2 ).
	(	0)	− (	1) +		(	2) − · · · + (−1) ( )
																				= 0.

2! · 4! · . . . · (2 )! > (( + 1)!) при > 1.

При (0, 2 )

1		sin	( + 2)
					1
	+ cos + cos 2 + · · · + cos =								.
2
			2 sin
				2

Неравенство Бернулли. Пусть · > 0, > −1 для любых , . Тогда

(1 + 1) · (1 + 2) · . . . · (1 + ) > 1 + 1 + · · · + .

Пусть > 0 для любого и 1 · 2 · . . . · = 1. Тогда 1 + 2 + · · · + > .

Неравенство между средними. Пусть									> 0 для любых . Тогда
	1 + 2 +		+
		· · ·		>	√ 1 · 2 · . . . · >			1	1
										1 .

1 + 2 + · · · +

Пусть > −1 и N, причем > 1. Тогда (1 + ) > 1 + .

Пусть R и > 1, а также > 0 для любых . Тогда

1 + 2 + · · · + 6 ( 1 + 2 + · · · + ) .

157