tg2 = 11+cos−cos 22 .

ctg2 = 1+cos1−cos 22 .

sin ± sin = 2 sin

±2

cos

2

.

cos + cos = 2 cos

+

cos

−2

.

2

cos − cos = −2 sin

+

sin

−2

.

2

sin( ± )

tg ± tg =

.

cos cos

sin( ± )

ctg ± ctg =

sin sin

.

				√				sin( + ), где
sin + cos =					2 + 2
sin =	√		, а	cos =		√			.
		2+ 2					2+ 2

2.2 Гиперболические функции

sh = − − .

2

ch = + − .

2

ch2 − sh2 = 1.

sh( ± ) = sh ch ± sh ch .

ch( ± ) = ch ch ± sh sh .

			th ±th
	th( ± ) =	1±th th		.
	cth( ± ) =		1±cth cth
			cth ±cth .

sh 2 = 2 sh ch .

ch 2 = ch2 + sh2 .

th 2 = 1+th2 th2 .

cth 2 = 12 (th + cth ).

arcsin + arccos = 2 .

arctg + arcctg = 2 .

arcsin = arctg

√

.

1−

2

arccos = 2 arctg √

1+1−

.

arctg = arcsin

√

.

1+ 2

arcctg = { arcsin √ 1

2 ,

arcsin

√

1

,

1+

2

−

1+

sh sh = ch( + )−ch( − ) . 2

sh ch = sh( + )+sh( − ) . 2

ch ch = ch( + )+ch( − ) . 2

th th = ch( + )−ch( − ) . ch( + )+ch( − )

sh ± sh = 2 sh ±2 ch 2 .ch + ch = 2 ch +2 ch −2 .ch − ch = 2 sh +2 sh −2 .

th ± th = sh( ± ) .

ch ch

sh2 = ch 2 −1 . 2

ch2 = ch 2 +1 . 2

> 0,

< 0.

3Предел числовой последовательности

Число . В равенстве ниже 0 < < 1.

→∞ (

1

)

(

1

)

+1

1

1

→∞

→∞

√ !

· · ·

2!

!

!

= lim

1 +

= lim

1 +

= lim

= 2 +

+

+

+

.

Формула Стирлинга. ln ! = ln − + O(ln ), или

lim

!

= 1.

(

)

→∞ √2

159

Теорема 46.1 (Теорема Штольца). Пусть

и — две последовательности веще-

ственных чисел, причем

−−−→

+

∞

и

:

>

+1 > . Кроме того, пусть

→∞

− −1

lim→∞

= , где R {+∞} {−∞} (важно, что ̸= ∞). Тогда

− −1

lim

= lim

− −1

.

→∞

→∞

− −1

11

1 +

+ · · · +

.

Например, пусть имеется предел

lim

2

= ln , очевидно, возрастает и

{

ln

} −−−→

+

∞

. Тогда:

→∞

ln

→∞

1

1

1

1 +

+ · · · +

1

1

2

lim

lim

= lim

= lim

= 1.

→∞

ln

=

→∞ ln − ln( − 1)

→∞ ln (

)

→∞ ln

(1 +

1

)

1

−

1

−

{ }, { } — произвольные последовательности. Тогда

lim + lim 6 lim( + ) 6 lim +

,

lim

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

lim +

6

+ ) 6

+

lim

lim(

lim

lim .

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

Теорема 46.2 (Теорема Тёплица). Пусть последовательность зависит от двух индексов и удовлетворяет условиям:

1.	> 0 для любых , N.
2.	1 + 2 + · · · + = 1 для любого N.
3.	lim = 0 для любого фиксированного N.
	→∞																{				} −−−→			∞
Пусть также имеется последовательность																				′			<		. Тогда
																						→∞
														∑
												lim			′						= .
												→∞ =1
																															1
Например, пусть =															, причем > 0. Введем =																			.
						1						1																1			1
	1																								1
				+					+ · · · +																			+		+ · · · +
			1		2																						1		2
Тогда выполняется:
1.	> 0.
						1						1			1
										+			+ · · · +
2.	1 + 2 + · · · + =							1			2								= 1.
						1 1									1

1 + 2 + · · · +

160

3.

1

0

lim =

= lim

= 0.

1

1

1 1

1

→∞

1

→∞ 1

+

+ · · · +

+ · · · +

−

− · · · −

1

2

1

1

−1

∑

Последний переход выполнен по теореме Штольца. В итоге получаем, что

=

=1

= . Значит,

lim = lim .

1

1

→∞

→∞

+ · · · +

1

Из этой теоремы помимо только что показанного можно вывести следующие 3 свойства:

lim

1+ 2+···+

=

lim .

→∞

→∞

√

lim

= lim .

. . .

→∞

1

· 2 ·

·

→∞

+1

lim

√ = lim

.

→∞

→∞

4 Функции

Пусть lim ( ) = 1,

lim ( ) =

∞

,

lim

( )( ( )

−

1) = . Тогда

lim ( ) ( ) = .

0

→

0

→

0

→

0

→

Все последующие эквивалентности даны при условии, что → 0.

sin .

ln(1 + ) .

1 − cos

2

.

(1 + ) − 1 .

2

tg .

− 1 ln .

arcsin .

log (1 + )

.

ln

arctg .

sh .

− 1 .

ch − 1

2

.

2

Теорема 46.3 (Теорема Лагранжа). Если выполнено:

1.( ) C[ , ].

2.( ) дифференцируема на ( , ).

Тогда ( , ), для которой ( ) − ( ) = ′( )( − ).

Теорема 46.4 (Теорема Коши о конечном приращении). Пусть для функций ( ) и ( )

выполнено:

161

1.( ), ( ) C[ , ].

2.( ), ( ) дифференцируема на ( , ).

Тогда:

1.

( , ) : ′( )( ( )

−

( )) = ′( )( ( )

−

( ))

.

′( ) = 0

[ , ]

( )− ( )

=

′( )

2.

Если

для

, то ( )− ( )

′( ) .

̸

Теорема 46.5 (Первое правило Лопиталя). Пусть на некоторой окрестности U′ ( ) для функций ( ) и ( ) выполняется:

1.и дифференцируемы.

2.lim ( ) = lim ( ) = 0.

→ →

3.

′( ) = 0

̸ .

4.

lim

′( )

=

R.

′( )

→

lim

( )

=

lim

′( )

=

.

′( )

Тогда →

( )

→

Теорема 46.6 (Второе правило Лопиталя). Пусть на некоторой окрестности U′ ( ) для функций ( ) и ( ) выполняется:

1.и дифференцируемы.

2.lim ( ) = lim ( ) = ∞.

→ →

3.

′( ) = 0

̸ .

4.

lim

′( )

=

R.

′( )

→

lim

( )

= lim

′( )

=

.

′( )

Тогда →

( )

→

5Функции нескольких переменных

Теорема 46.7 (Достаточное условие существования двойного предела). Пусть функ-

ция ( , ) определена в проколотой окрестности

точки ( 0, 0), и 0

> 0 : ,

(0

0) | (

0 +

cos

,

0

+

sin

) −

| 6

( ), где

0+0

(

) = 0. Тогда

0

.

,

lim

lim ( , ) =

→

→ 0

→

Для функции (¯):

(¯) = ∑ ∂ .

=1 ∂

162