Доказательство. Рассмотрим функцию ( ) =			∫∞
				( ) . По критерию Коши для числовых
когда выполнено	→ +∞		+	( )
		(т.е. величина	∫		) существует тогда и только тогда,
функций ее предел при
> 0 0 > : 1, 2 > 0 | ( 1) − ( 2)| < .
А это именно то, что и требовалось доказать.					[:|||||:]

Теорема 41.2 (Признак сходимости несобственных интегралов). Пусть ( ) > 0 на [ , +∞).

	+∞
Тогда	∫	( ) → т.и.т.т., когда функция ( ) = ∫				( ) ограничена.
Доказательство.
Необходимость.						+∞
		+∞
		∫	( ) → ∫		( ) 6 ∫		( ) < ∞.

Т.е. данный несобственный интеграл сходится.

Достаточность.

Заметим, что ( ) > 0, значит ( ) . Но тогда для ее сходимости достаточно ограниченности.

[:|||||:]

Часть 42

Признаки сравнения несобственных интегралов

1Простейшие признаки сравнения

Теорема 42.1. Пусть [ , +∞) 0 6 ( ) 6 ( ). Тогда:

		+∞		+∞
1.	Если	∫	( ) →, то и	∫	( ) →.
		+∞		+∞
2.	Если	∫	( ) 9, то и	∫	( ) 9.

Доказательство.

		+∞	+∞	6 . Тем самым мы ограничили	+∞
1. По теореме	41.2	( ) 6	( )		( ) ,
значит этот	интеграл сходится.		∫		∫
		∫

124

2.	противоречие.			+∞	( ) →			+∞	( )
				∫				∫		. Получили
	Предположим, что					. Тогда по пункту 1 сходится и
										[:|||||:]
		+∞				+∞	+∞	абс
						∫
Будем говорить, что несобственный интеграл							( ) сходится абсолютно, если сходится
интеграл		∫	| ( )| . Это принято обозначать как				∫	( ) −→.

Теорема 42.2 (Первый признак сравнения (признак абсолютной сходимости)). Пусть

+∞

+∞

[ , +∞) | ( )| 6 ( ). Тогда если

∫

( ) →, то и

∫

( ) →.

+∞

Доказательство. Пусть

∫

( ) сходится. Тогда по критерию Коши

> 0

> :

1 > , 2

>

2 ( )

< .

∫

1

C другой стороны,

6 2

2

2 ( )

|

( )

6

2

( ) 6

( )

< .

∫

∫

|

∫

∫

1

1

1

1

+

∞

А это и означает, что

∫

( ) →.

[:|||||:]

Теорема 42.3 (Второй признак сравнения). Пусть ( ), ( ) > 0 и lim ( ) = . Тогда

→+∞ ( )

					+∞			+∞
1.	Если 0 < < +∞, то				∫	( ) → ∫			( ) →.
		+∞				+∞
2.	Если = 0, то	∫	( ) → ∫				( ) →.
			+∞				+∞
3.	Если = +∞, то		∫	( ) 9			∫	( ) 9.

Доказательство.

1.Из условия следует, что (( )) = + ¯o(1), т.е. ( ) = ( + ¯o(1)) ( ). По определению ¯o(1)

можно предъявить такое , что > |¯o(1)| 6 2 . Тогда

			( ) 6 ( ) 6	3	( ).
	2			2
+∞						+∞
						+∫∞	( ) сходится и
По теореме 42.1 левая часть неравенства дает, что при сходимости
∫
	( ) . А правая часть неравенства дает, что при расходимости					∫	( ) расходится
	+∞

∫

и( ) .

125

2.Можно записать, что ( ) = ¯o(1) ( ). Аналогично, можно ограничить сверху ¯o(1) некоторой константой. Тогда ( ) 6 ( ). Но тогда, используя теорему 42.1, получаем то, что и требовалось доказать.

3.Если lim (( )) = +∞, то ( ) = ¯o(1) ( ) 6 ( ). Снова используем теорему 42.1.

→+∞

[:|||||:]

Данные признаки опираются на тот факт, что у нас уже есть некоторый интеграл, про который известно, сходится он или нет. Поэтому найдем следующий несобственный интеграл I рода для того, чтобы было на что «опереться» при использовании данных признаков:

+∞

=

lim

= lim

{

1

1

=

1 1

,

> 1,

+

,

= 1,

∫

∫

− −

+

+

,

= 1

−

ln ,

= 1

∞

1

1

−

̸

+ , < 1.

∞

+∞

Иными словами,

∫1

→,

если > 1. В следующей теореме используется обозначение O*.

Запись ( ) = O*( ( )), → означает, что lim ( ) = < ∞, причем ̸= 0. Т.е. это частный

→ ( )

случай O, которое говорит, что данное отношение функций ограничено.

	(	1				+∞
Следствие 42.4. Пусть ( ) = O*				при	+ . Тогда при > 1,	( ) сходится,
а при 6 1 расходится.				)	→ ∞	∫1

Например, если требуется просто исследовать интеграл на сходимость, то необязательно считать его «честно». Пусть необходимо исследовать на сходимость следующий интеграл:

+∞	5 + 7 4 − 3 2 + 2	.
∫1	4 7 + 3 6 + 2 2 + 17

Непосредственное нахождение первообразной подынтегральной функции достаточно трудо-

емко. Однако можно записать:
	5 + 7 4 − 3 2 + 2	= O*		1		при	+ .
	4 7 + 3 6 + 2 2 + 17		(	2 )
							→ ∞

А значит, по предыдущему следствию данный интеграл сходится. Заметим также, что в качестве нижнего предела в данном интеграле может выступать любое число > 1.

Для несобственных интегралов II рода можно получить практически аналогичный результат:

= lim

= lim

{

−1

1

=

1 1 ,

< 1,

1

1

ln ,

= 1

+∞,

= 1,

∫

→0+0

∫

→0+0

− −

,

= 1

−

1

0

̸

+

, > 1.

−

∞

Следствие 42.5. Пусть ( ) = O* (

1

)

при → +0, и ( ) интегрируема на ( , ]. Тогда

( − )

если < 1, то ∫

( ) сходится,

а если > 1, то данный интеграл расходится.

126

Комбинируя последние признаки, можно исследовать на сходимость интегралы наподобие этого:

												+∞	√ + 3 .
												∫0
При	→	+ , ( ) = O*							1	.	3	> 1, поэтому в данном случае имеем сходимость. При
								3/2			2
		∞
					1		1
→ 0 + 0, ( ) = O*						.	(2		<)1, значит и в этом случае имеем сходимость. Тогда и вся
					1/2
интегральная сумма			сходится.
				(		)

2Абсолютная и условная сходимость

Здесь нам понадобится вспомнить первый признак сравнения (теорема 42.2).

	+∞ sin
Например, сходимость	∫1 2		может быть совсем неочевидна. Однако, вспомнив, что

sin2 6 12 , сходимость становится очевидной.

Следствие 42.6.

+∞		+∞
∫	| ( )| → ∫		( ) → .

Доказательство. Напрямую следует из первого признака сравнения и | ( )| 6 | ( )|. [:|||||:]

Исходя из того, что из | ( )|, ( ) сходится/расходится, принято выделять следующие виды сходимости:

+∞

+∞

+∞

Если и

∫

( ) , и

∫

| ( )| сходятся, то говорят, что

∫

( ) сходится абсолютно

(качественно).

+∞

+∞

+∞

Если и

∫

( ) , и

∫

| ( )| расходятся, то говорят, что

∫

( ) расходится.

дится

+∞

+∞

+∞

∫

∫

∫

Если же

( )

сходится, а

| ( )| расходится,

то говорят, что

( ) схо-

условно (некачественно).

3Признак Дирихле

	+∞
Теорема 42.7. Рассмотрим	∫	( ) ( ) . Пусть выполнено:

1. Следующие 3 условия по сути эквивалентны:

(a) Первообразная функции ( ) ограничена, т.е. | ( )| 6 .

∫

(b) > ( ) 6 (обобщение предыдущего условия).

(c) ′, ′′ >	′′	( ) 6 .
	′
	∫

127