Достаточность.

Пусть

′( )

lim

0

= ′( ). Рассмотрим (Δ ) =

−

′( ). lim

(Δ ) = 0, т.е.

→

→

0

(Δ ) = ¯o(1)

− ′( ) = o(1)¯

= ′( )Δ + ¯o(Δ ).

[:|||||:]

Теорема 15.2 (связь дифференцируемости и непрерывности). Если ( ) дифференцируема в точке , то ( ) C( ).

Доказательство. = ′( )Δ + o(Δ¯	)			0	0, из чего получаем разностную форму непре-
		−−−→
рывности.			→		[:|||||:]

Заметим, что обратное неверно. Например, ( ) = | | непрерывна в 0, но не дифференцируема в нем.

Пусть ( ) дифференцируема в точке . Тогда = ′( )Δ +¯o(Δ ). Заметим, что ′( )Δ — главная часть приращения функции. Назовем эту величину дифференциалом функции в точке и обозначим как = ′( )Δ . Введем также понятие дифференциала аргумента :

Если — независимая переменная, то = .

Если = ( ), то = ′( ) .

Часть 16

Теоремы о дифференцируемости функций I

1Правила дифференцирования

Теорема 16.1 (дифференцирование сложной функции). Если = ( ) дифференцируема в точке 0, а = ( ) дифференцируема в точке 0 = ( 0), то сложная функция ( ( )) дифференцируема в точке 0, причем ′( 0) = ′( 0) ′( 0) = ( ( ( 0)))′ ′( 0).

Доказательство.

= ′( )Δ + ¯o(Δ ) = ′( )Δ + (Δ )Δ .

= ′( )

+ (Δ )

(

**

).

Из дифференцируемости

= ( )

вытекает, что

имеет

предел в точке 0, равный ′( 0).

Заметим, что lim0

=

lim0

( 0 +

) − ( 0) = 0. Но при

→ 0 (Δ ) → 0. Переходя к

→

→

пределу в правой части (**), получаем:

	lim		=	lim ′( )
	→0			→0

= ′( ) ′( ) = ′( ( )) ′( ).

[:|||||:]

Теорема 16.2 (дифференцирование обратной функции). Пусть : X →Y и −1 : Y →X —

взаимно обратные функции. Причем ( ) C( 0), а −1( ) C( 0 = ( 0)). Тогда если ( ) дифференцируема в точке 0 и ′( 0) ̸= 0, то −1( ) дифференцируема в точке 0, причем

( −1)′( 0) = ′(1 0) .

48

Доказательство. → 0 X → 0 Y. Заметим, что −1( 0) = 0, а −1( 0 +

) =

0 + , т.к.

= −1( 0 +

) − −1( 0).

( −1)′( 0) = lim

−1( 0 + ) − −1( 0)

=

lim

0 +

− 0

=

( 0 +

) − ( 0)

→0

1

→0

= lim

=

1

.

) − ( 0)

→0 ( 0 +

′( 0)

[:|||||:]

Теорема 16.3 (арифметические операции над дифференцируемыми функциями). Если ( )

и ( ) дифференцируемы в точке , то ± , · , ( ̸= 0) также дифференцируемы в

точке , причем ( ± )′ = ′ ± ′, ( · )′ = ′ + ′,

( )

=

2

.

′

′ − ′

Доказательство. Будем считать, что

отвечает приращению ( ),

отвечает приращению

( ), а

отвечает приращению ( ).

1. ( ) = ( ) ± ( ).

= ( + ) − ( ) = ( ( +

) ± ( +

)) − ( ( ) ± ( )) =

= ( ( +

) − ( )) ± ( ( +

) − ( )) =

± .

Таким образом,

=

±

.

При → 0 существует предел правой части, равный ′( ) ± ′( ), а значит, существует

и предел левой части

′( ) = ′( ) ± ′( ).

2. ( ) = ( ) · ( ).

= ( + ) − ( ) = ( + ) ( + ) − ( ) ( ) =

= ( ( +

) ( + ) − ( +

) ( )) + ( ( +

) ( ) − ( ) ( )).

Далее можно записать

= ( +

)( ( +

) − ( )) + ( )( ( +

) − ( )) = ( +

)Δ + ( )Δ .

Таким образом,

= ( +

)

+ ( )

.

Возьмем теперь предел правой части при → 0. В силу непрерывности ( ) в (т.к.

она дифференцируема в этой точке) lim ( +	) = ( ). Тогда получаем, что
→0

′( ) = ( ) ′( ) + ( ) ′( ).

49