3.Рассмотрим пример, на котором ошибаются практически все известные пакеты символьного интегрирования. Ошибка состоит в том, что они не производят «склейку» полученных первообразных в непрерывную функцию.

∫ √ ∫ ∫

√

1 − sin 2 = (cos − sin )2 = | cos − sin | =

∫

=sgn(cos − sin )(cos − sin ) = − sgn(cos − sin )(sin + cos ) + .

Последний переход сделан именно так, потому что sgn — это просто константа. Заметим, что sgn разрывен во всех точках, где cos = sin , т.е. в = 4 + . Значит, имеем

cos + sin + 0,

−34 6 < 4

(cos + sin ) + 1,

4

6 < 54

−

. . .

(−1) (cos + sin ) + ,

4

+ ( − 1) 6 <

6 − 4

что 6 + 34

+ 3

Из условия ( − 1)

< следует,

< + 1, т.е. =

4

.

+1(

4 −

)

(

4

)

[

]

Осталось лишь «убрать разрывы»:

+

0 = +

+ 0

. Тогда:

√

√

√

(−1) 2 + = (−1)

2 + +1 +1 = (−1) · 2 2 + ,

1 − (−1)

2√

.

= +

2

0

2

·

11 Определенные и несобственные интегралы

Теорема 46.9 (Обобщение формулы Ньютона-Лейбница). Пусть функция ( ) интегрируема на [ , ], ( ) терпит разрывы первого рода во внутренних точках ( , ), 1, , и, может быть, в точках и . Кроме того, пусть ′( ) = ( ) за исключением точек разрыва. Тогда справедлива формула

∫
		( ) = ( − 0) − ( + 0) + =1	( ( − 0) − ( + 0)).
		∑

Теорема 46.10 (Аналог формулы интегрирования по частям для несобственного интеграла). Пусть ( ) и ( ) — непрерывно дифференцируемые на луче [ , +∞) функции, один

+∞

+∞

из интегралов

( ) ′( ) ,

′( ) ( ) сходится, и существует предел

lim ( ( ) ( )).

Тогда сходятся∫оба указанных∫интеграла, причем справедлива формула

→+∞

+∞

(

)

(

)

= →+∞

−

+∞

)

( )

∫

− ∫

(

′

lim ( ( ) ( ))

( ) ( )

′

.

Во всех приведенных ниже формулах предполагается, что данные функции обладают всеми необходимыми свойствами для взятия интеграла. и — ограничивающие параметры.

172

Объем тела вращения вокруг фигуры в декартовых координатах:

= 2 ∫
	( ) .
Объем тела вращения вокруг фигуры, заданной параметрически:
∫	2( ) ′( ) .
=
Объем тела вращения вокруг фигуры, заданной параметрически:
= ∫	2( ) ′( ) .

Объем тела вращения вокруг фигуры, заданной в полярных координатах:

=	23	∫
			3( )| sin | .

Площадь поверхности, образованной при вращении вокруг :

= 2 ∫
	| ( )|
			1 + ( ′( ))2	.
		√

Площадь поверхности, образованной при вращении вокруг :

= 2 ∫
	| ( )|
		1 + ( ′( ))2		.
		√

Площадь поверхности, образованной при вращении параметрически заданной кривой вокруг :

= 2 ∫
	| ( )|
		( ′( ))2		+ ( ′( ))2 .
		√

Площадь поверхности, образованной при вращении параметрически заданной кривой вокруг :

= 2 ∫
	| ( )|
			( ′( ))2	+ ( ′( ))2 .
		√

Площадь поверхности, образованной при вращении фигуры, заданной в полярных координатах вокруг :

= 2 ∫
	( )| sin |
		2		( ) + ( ′( ))2	.
		√

173