И это определение звучит вполне логично: если мы начинаем как угодно близко подходить по к , значения ( ) начинают стремиться к .

Прежде чем доказывать то, что мы дали два эквивалентных определения предела функции

вточке, поговорим о том, что мы доказывали раньше. А именно о том, как связан предел последовательности и предел функции.

На самом деле, что такое последовательность? Это : N →R. Т.е. действительнозначная функция от натуральных чисел E = N. Однако предел функции был нами определен лишь только в предельных точках множества E. Ясно, что для любого натурального конечного числа для = 0.3 (например) в окрестности вообще нет других элементов E. Но вот ∞,

вкоторой мы как раз считаем предельное значение последовательностей, — это предельная точка множества N (по определению ∞ = ∞− , где N, что означает наличие бесконечного числа натуральных чисел в любой окрестности числа ∞). Поэтому предел последовательности может быть найден только на бесконечности.

Важно отметить, что функция необязательно должна быть определена в точке для того,

чтобы существовал lim	( ). Например,	lim sin	= 1	(то, что скоро будет названо первым
E →		→0
замечательным пределом), хотя сама функция в = 0				не определена.

2Эквивалентность формулировок

Теорема 9.1. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Доказательство.

Из определения по Коши следует определение по Гейне.

Тогда V ( ) U′ ( ) : (U′ ( ) ∩ E) V ( ) U′ ( ) ∩ E ( ) V ( ) — это определение по Коши.

Выберем произвольную { } : ̸= и −−−→ . По определению предела последователь-

→∞

ности > 0 ( ) N : > 0 < | − | < . Указанное неравенство выполняется для любого > 0. Тогда какое бы > 0 мы бы ни выбрали, можно найти > 0, такое что по определению по Коши будет выполняться U′ ( ) | ( ) − | < , т.е.

{ ( )} −−−→ , а значит из сходимости по Коши следует сходимость по Гейне.

→∞

Из определения по Гейне следует определение по Коши.

От противного: lim ( ) = по Гейне, но ̸= lim ( ) по Коши. Напишем отрицание

→	→
определения по Коши:

0 ( ) : U′ ( ) U′ ( ) : | ( ) − | > 0.

Буквально это значит следующее: найдется такой 0, что для любого найдется такой

, что | 1( ) − | > 0. Т.к. может быть любым, то можно выбрать последовательность
{ } = { }. Тогда из вышесказанного следует, что для каждого											элемента этой последова-
											1
тельности существует хотя бы одно							1 , такое что 0 < | − | <				, но | ( ) − | > 0. Но
при	→ ∞	|	−		|	< =	, то	−−−→		(по теореме о двух милиционерах для
		, т.к. 0 <							→∞

последовательностей). Таким образом, мы получили два одновременных результата —→ и ( ) 9 , что не так по Гейне, т.е. получили противоречие.

[:|||||:]

31

И тут возникает достаточно хороший вопрос: а зачем нам нужно было вводить два определение одной величины? Дело в том, что оба они удобны в разных ситуациях: определение по Коши — прежде всего тем, что оно универсально (или говорят, что оно на языке эпсилондельта или -языке), а определение по Гейне — тем, что оно позволяет работать с пределами функций через пределы последовательностей, для которых уже существует база доказанных утверждений. Например:

Теорема 9.2. Предел lim ( ) единственен.

→

Доказательство. Это следует из определения по Гейне, т.к. предел числовой последовательности единственен. [:|||||:]

( ) называется ограниченной на E, если > 0 E : | ( )| 6 .

Теорема 9.3. Если функция в точке сходится к числу, отличному от бесконечности, то

она ограничена на некоторой окрестности точки , т.е. lim ( ) = < ∞ U′ ( ) :

→

( ) ограничена на U′ ( ).

Доказательство. Из определения по Коши > 0 > 0 : U′ ( ) | ( ) − | < . Это

значит, что есть такая		−		< ( ) < + , т.е.
	U′ ( ), что для всех принадлежащих ей ,
получили границы для ( ).				[:|||||:]

3 Односторонние пределы

Будем считать, что > 0 интервалы ( − ; ) и ( ; + ) содержат хотя бы одно значение из E.

Назовем число левым (правым) пределом по Коши, если:

> 0 ( ) > 0 : E, − < < ( < < + ) | ( ) − | < .

Назовем число левым (правым) пределом по Гейне, если:

:

N, < ( > ), и

E, и lim =

( )

.

{

}

{

} −−−→

→∞

→∞

Обозначим односторонние пределы так:

lim

0

( ) = = (

−

0) и

lim ( ) = = ( +0).

→

+0

→ −

Таким образом, когда мы можем «подойти» к предельному значению функции, двигаясь пок точке слева, говорят, что существует левый предел. Аналогично следует понимать и определение правого предела. Поэтому если мы можем подойти к и слева, и справа, то существует предел в точке . В кванторах это значит следующее:

lim ( ) = ( − 0) = ( + 0) = .

→

(т.к. E − < < и E < < + E 0 < | − | < ).

Здесь стоит упомянуть о следующем: если точка E, то из этого вовсе не следует, что предел функции в ней равен ( ). Например, пусть

−1, если < 0,

( ) = sgn = 0, если = 0,

1, если > 0.

32