Последний предел не существует, поскольку:
= 2				( )	−−−→		0,
						→∞
2					−−−→
=		+		( )			1.
						→∞

Но, как легко показать, предел до «лопитирования» существует:

				1 −		sin
	− sin
lim		=	lim					= 1.
→+∞ + sin			→+∞	1 +		sin

Часть 22

Формула Тейлора

1Постановка задачи

Предположим, что имеется некоторая функция ( ) и надо исследовать ее поведение в некоторой точке 0 или ее окрестности. Сама функция может быть при этом достаточно сложной,

и поэтому непосредственное вычисление lim ( ) (как пример того, что мы хотим узнать о

→ 0

функции в 0) окажется крайне трудоемким. Идея в том, чтобы найти такой многочлен ( ),

что ( )

0

( − 0), а затем исследовать его. Работать с многочленами практически всегда

→

намного проще.

+ 1 + 2 2 + · · · + . (0) = 0, а

Предположим пока, что 0 = 0. Тогда ( ) = 0

′

( ) =

+ 2

+

· · ·

+

−1, из чего следует, что

= ′ (0). По аналогии можно получить,

1

2

( )

1

′ (0)

′′(0)

2

( )

(0)

что 2 =

′′(0)

(0)

. Т.е. получаем, что ( ) = (0)+

+· · ·+

.

,). . . , =

+

2 (

!

1!

2!

!

Пусть

( 0), тогда справедлива формула:

′( 0)

′′( 0)

( − 0)2 + · · · +

( )( 0)

( − 0) + ( , ).

( ) = ( 0) +

( − 0) +

1!

2!

!

Эта формула называется формулой Тейлора и обычно записывается в виде:

( )( 0)

( ) =

( − 0) +

( , ).

!

=0

остаточный член

∑

многочлен Тейлора

Прежде чем подробнее изучить остаточный член, докажем следующую лемму.

Лемма 22.1. Пусть ( )( 0) и ′( ) на некоторой U( 0). Тогда ( ( , ))′ = −1( ′, ).

Доказательство.

( , ) = ( )

		( )( 0)
	∑					( − 0)
		(	−	1)!
	( ( , ))′ = ′( ) −
	=1

−

−1

		( )( 0)
	∑
				( − 0) ,
		!
	=0
			−1		( +1)( 0)
	= ′( ) −		∑				( − 0) = −1( ′, ),
					!
			=0

62

т.к. ( +1)( 0) = ( ′)( )( 0). Следует также обратить внимание на то, что дифференцирование( , ) происходит по , поэтому все члены суммы, кроме ( − 0) , — константы. [:|||||:]

2Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа

Теорема 22.2 (Форма Пеано (локальная форма остаточного члена)). Пусть ( )( 0) и

( −1)( ) в некоторой окрестности U( 0). Тогда справедлива формула Тейлора, причем

( , ) = ¯o(( − 0) ), → 0.

Доказательство. Докажем с помощью метода математической индукции. При = 1, ( ) =( 0)+ ′( 0)( − 0)+¯o( − 0), что верно, т.к. ( ) дифференцируема в точке 0. Предположим теперь, что теорема верна для произвольной функции при = −1, и докажем ее при = .

Заметим сначала, что ( , 0) = 0 (следует из обычной формулы Тейлора). Тогда ( , ) =( , ) − ( , 0) = ( ( , ))′( − 0), где (min{ , 0}, max{ , 0}) по теореме Лагранжа. По лемме 22.1 получаем, что ( ( , ))′( − 0) = −1( ′, )( − 0). По предположению для произвольной функции , у которой есть -ая производная в 0 и ( − 1)-ая в окрестности 0, можно выполнить индукционный переход для ′, т.к. для −1 у ′( ) существуют ( − 1)-ая

производная в 0 и ( −2)-ая в окрестности 0. Тогда −1( ′, )( − 0) = ¯o(( − 0) −1))( − 0) = [| − 0| < | − 0| ¯o(( − 0) −1) = ¯o(( − 0) −1)] = ¯o(( − 0) −1)( − 0) = ¯o(( − 0) ). [:|||||:]

Поскольку в формулировке теоремы явно полагается, что → 0, то данная теорема не может применяться для интервалов.

Теорема 22.3 (Форма Лагранжа). Пусть N {0} и ( )( ), причем ( )( ) C[ 0, ]. Кроме того, ( +1)( ) на ( 0, ). Тогда справедлива формула Тейлора, причем ( , ) =

( +1)( )

( +1)! ( − 0) +1, где ( 0, ).

Доказательство. Снова воспользуемся методом математической индукции. При = 0, ( ) =

(

)+ ′( )(

−

) — формула Лагранжа. Предположим теперь, что для произвольной функции

0

0

( )

справедливо,

что −1( , ) =

( )

( − 0) . При = имеем:

!

( , )

=

( , ) − ( , 0)

по ф. Коши =

( ( , ))′

= по лемме 22.1

( − 0) +1

( − 0) +1 − ( 0

− 0) +1

( + 1)( − 0)

−1( ′, )

( ′( ))( )

( +1)( )

( +1)( )

+1

=

( + 1)( − 0)

=

( + 1) !

=

( + 1)!

( , ) =

( + 1)!

( − 0)

.

[:|||||:]

Заметим, что иногда удобно представлять это как 0 + Θ( − 0), где Θ (0, 1). В формулировке и доказательстве данной теоремы предполагается, что 0 6 . Однако и формулировка, и доказательство практически не меняются при 0 > .

3Единственность разложения

Теорема 22.4. Пусть в некоторой окрестности U( 0) выполнено: ( ) = 0 + 1 + · · · +

+ ¯o( ) и ( ) = 0 + 1 + · · · + + ¯o( ). Тогда 0 = 0, 1 = 1, . . . , = .

63

Доказательство. Рассмотрим выражение ( 0 − 0) + ( 1 − 1) + · · · + ( − ) = ¯o( ).

Положим → 0, тогда 0 = 0 − 0 = o(0)¯ = 0. Значит, написанное выражение приобретает вид
( 1 − 1) + · · · + ( − ) = ¯o( ). Разделим его на и снова получим, что 1	= 1 − 1 = 0.
Продолжая указанный процесс, получаем, что 0 = 1 = 2 = · · · = = 0.	[:|||||:]

4Разложение по формуле Маклорена

При 0 = 0 формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано называется формулой Маклорена. Выведем 5 основных разложений по формуле Маклорена:

1. ( ) = . Поскольку ( )(0) = 1:

2

= 1 + +

+ · · · +

+ ¯o( ).

2!

!

2. ( ) = sin . Вспомним, что

) ( )(0) = sin

(

) =

{(−1) ,

( )( ) = sin

( + 2

2

если = 2 + 1.

0,

если = 2 ,

Тогда получаем следующее разложение:

3

5

2 −1

sin = −

+

− · · · + (−1) −1

+ ¯o( 2 ).

3!

5!

(2

−

1)!

3. ( ) = cos . Снова вспомним, что

(

) =

{(−1)

( )( ) = cos

( + 2

) ( )(0) = cos

2

,

если = 2 .

0,

если = 2 + 1,

Тогда:

2

4

2

cos = 1 −

+

− · · · + (−1)

+ ¯o( 2 +1).

2

4!

(2 )!

4. ( ) = ln( + 1). Снова опираясь на ранее полученные результаты,

( )( ) = (−1) −1 ( − 1)! ( )(0) = (−1) −1( − 1)!. (1 + )

Тогда учитывая, что (0) = 0:
	2		3	− · · · + (−1) −1
ln( + 1) = −		+				+ ¯o( ).
	2		3

5.( ) = (1 + ) , где R.

( )( ) = ( − 1) . . . ( − + 1)(1 + ) − ( )(0) = ( − 1) . . . ( − + 1).

	Значит,
	(1 + ) = 1 + +	( − 1)	2	+	· · ·	+	( − 1) . . . ( − + 1)	+ ¯o( ).
		2!					!

64