Доказательство.

{

}

ограничена, то и все ее координатные последовательности так-

Если

же

ограничены.

{ 1

}

ограничена, тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса для одномерного

{

{

}

{

} −−−→

случая

1

} −−−→

1.

Аналогично,

2

ограничена

2

2

. Продолжая так про-

→∞

→∞

реживать последовательность вплоть до -ой координаты, получим, что каждая координатная подпоследовательность сходится к соответствующей координате числа . А это и значит, что

нашлась такая подпоследовательность { }, что { } −−−→ . [:|||||:]

→∞

4Предел функции

Будем рассматривать функцию

: E →R, E

R

. Пусть теперь

( )

определена на

E

,

а

(0)

—

предельная точка этого множества. Число

называется пределом функции при

→

(0)

по множеству

E

(обозначается, как и раньше,

lim ( ) = ), если

E → (0)

> 0 ( ) > 0 : E, 0 < ( , (0)) < | ( ) − | < (определение по Коши).

{ ( )} : ( ) E { (0)}, ( ) −−−→ (0) { ( ( ))} → (определение по Гейне).

→∞

Как и в одномерном случае, можно убедиться, что оба определения эквивалентны. Запись ( ) означает в данном случае то же, что и , т.е. -ый член последовательности, и призвана подчеркнуть, что имеется в виду не возведение в степень.

Теорема 25.8 (Критерий Коши существования предела функции). Для существования конечного предела lim ( ) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши

E → (0)
> 0 ( ) > 0 : ′, ′′ E ∩ U′ ( (0)) | ( ′) − ( ′′)| < .
Доказательство. Аналогично случаю одной переменной.	[:|||||:]

Если в определении предела функции по множеству в качестве множества взято пересечение E с некоторой кривой Γ (проходящей через точку (0)), то такой предел называется пределом функции ( ) в точке (0) по кривой Γ (а пересечение с лучом называется пределом по направлению).

Утверждение 25.9. Если функция ( ) имеет предел в точке (0), то она имеет в этой точке пределы по всем направлениям, значения которых совпадают с этим пределом, причем обратное, вообще говоря, неверно!

Например, рассмотрим функцию ( , ) =	2	. Несложно показать, что @ lim ( , )	—
	2+ 4
		→0
		→0

достаточно предъявить последовательности ( 1 , 12 ) и ( 1 , − 12 ). Но если взять предел по произвольной прямой, т.е. принять = , = , то такой предел всегда существует.

5Функции двух переменных

Восновном мы будем заниматься исследованием функций двух переменных, поэтому удобно ввести некоторые обозначения и вспомогательные определения. Во-первых, точку в пространстве (в данном случае, на плоскости) будем обозначать привычной записью ( , ), а саму функ-

цию как ( , ). Значение предела функции в точке ( 0, 0) будем записывать как lim ( , )

→ 0→ 0

или	lim ( , ) и называть двойным пределом.

( , )→( 0, 0)

74

Пусть функция ( , ) определена в проколотой окрестности точки ( 0, 0). Повторными пределами функции ( , ) в точке ( 0, 0) называют пределы

→ 0	( → 0	)	→ 0	( → 0	)
lim	lim ( , )	,	lim	lim ( , ) .

Разумеется, оба этих предела могут быть неравны, из их существования не следует существование равного им двойного предела (и наоборот). Геометрическая интерпретация повторно-

→0	( →0	)
го предела такова. Предположим, что мы ищем lim	lim ( , )	. Тогда мы сначала движемся

по некоторой прямой, параллельной к , а затем вдоль приближаемся к началу координат.

6Непрерывность

Функция ( ) называется непрерывной в точке (0) по множеству E, если

lim ( ) = ( (0)).

E → (0)

Как и в одномерном случае, будем считать, что если (0) — изолированная точка множества E, то ( ) непрерывна в этой точке, а понятие предела в точке (0) по E не определено.

(0)

Пусть

(0)

E R и каждая из

(0)

Теорема 25.10 (Непрерывность суперпозиции).

функ-

ций 1, 2, . . . , непрерывна в точке по множеству E. Предположим

также

=

(1

F

)

E

(0)

1( (0)); . . . ; ( (0))

и функция непрерывна в точке (0) по множеству

F. Пусть ещё

( ( ); . . .

( ))

для

.

Тогда сложная функция : E →R, ( ) = ( 1( ); . . . ( )) непрерывна в точке

по

множеству E.

Доказательство. Рассмотрим произвольную сходящуюся к (0) последовательность точек = ( (1 ), (2 ), . . . , ( )) множества E. Обозначим через { } соответствующую последовательность точек пространства R , координаты (1 ), (2 ), . . . , ( ) которых равны

( ) = ( (1 ), (2 ), . . . , ( )).

Тогда из непрерывности функций в точке (0) и определения по Гейне следует сходимость последовательности точек { } к точке (0). Из непрерывности функции в точке (0) и определения непрерывности по Гейне следует, что { ( )} сходится к ( (0)).

Но это и означает, что последовательность ( 1( ), 2( ), . . . , ( )) значений этой сложной функции сходится к значению этой сложной функции ( 1( (0)), . . . , ( (0))), что и дает непрерывность функции ( ) в точке (0). [:|||||:]

75

Часть 26

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1Частные производные ФНП и ее дифференциал

Как уже упоминалось ранее, мы будем рассматривать функцию двух переменных, поскольку анализ такой функции не сильно отличается от анализа функции переменных, однако существенно проще в обозначениях. Пусть функция = ( , ) определена в некоторой окрестности U( 0), где 0 = ( 0, 0). Если зафиксировать = 0, то = ( , 0) — функция одного переменного.

Производная функции одного переменного ( , 0) в точке =					0 (которую мы привыкли
записывать как	( 0, 0)	) называется частной производной	∂ ( 0, 0)		в точке 0. Аналогично,
			∂
						∂ ( 0, 0)
можно зафиксировать = 0 и определить частную производную							как производную
						∂

функции одного переменного ( 0, ) в точке = 0.

Символ ∂, в отличие от привычного , используемого при анализе функции одного переменного, призван подчеркнуть, что рассматривается функция нескольких переменных. Заметим,

что по определению

∂

( ,

)

= 0

. Частную производную

∂

( 0) иногда также обозна-

( 0) =

0

∂

∂

чают как ′ ( 0).

Выберем такие

и

, что ( 0

) U( 0). Назовем полным приращением

+ , 0 +

функции в точке 0

величину

= ( 0 +

, 0 +

) − ( 0, 0).

Как и раньше, будем называть функцию ( , ) дифференцируемой в точке 0, если выполнено:

√

= + + ¯o( ) при → 0, где = 2 + 2.

полный дифференциал

Нетрудно заметить, что это определение практически не отличается от такового в одномерном случае. Функция дифференцируема в некоторой точке, если ее полное приращение в этой

точке представимо в виде линейной функции. Как и раньше, обозначим = ,

= .

Тогда = + = + , причем и не зависят от

,

. Перепишем полное

приращение в следующем виде:

= + + ¯o( ) = +

+ (Δ ,

) · ,

(1)

где — бесконечно малая при → 0.

Лемма 26.1. Определение приращения 1 эквивалентно следующему:

= + + 1(Δ , ) · + 2(Δ ,

) ·

,

где 1, 2 → 0.

(2)

Доказательство. Докажем, что 1 2.

2

2

= + + (Δ , )√ 2 + 2 = + +

+

=

√

2

+ 2

√

2 + 2

= + +

+

.

√

√

2 + 2

2 + 2

76

Пусть теперь

·

, а

·

. Заметим, что

6 1

и

6 1

,

1

= √

2 = √

√

√

2+Δ 2

2+Δ 2

2+Δ 2

2+Δ 2

т.е. | 1| 6 | | и | 2| 6 | |. Но тогда по теореме о двух милиционерах 1, 2 — бесконечно малые при → 0.

Теперь докажем, что 2 1.

2 + 2 1 +

+ 2 2 = (

1 +

2).

(Δ , ) = 1 + 2 =

2

√

√

6 1 и

6 1, то | | 6 | 1| + | 2|

Пусть теперь (Δ , ) =

1

+

2

. Поскольку

→ 0.

[:|||||:]

2Необходимые условия дифференцируемости

Теорема 26.2 (Необходимое условие дифференцируемости I). Если ( , ) дифференцируема в точке 0, то она непрерывна в ней.

Доказательство.

|

| = |

+

+ ¯o( )| 6

{|

|

6 }

6 (| | + | |) + .

6

|

|

→ 0, то и

→ 0, а это и значит, что = ( , ) непрерывна в точке 0.

[:|||||:]

Теорема 26.3 (Необходимое условие дифференцируемости II). Если = ( , ) дифферен-

цируема в точке 0, то

∂

( 0),

∂

( 0), причем =

∂

( 0) и =

∂

( 0).

∂

∂

∂

∂

Доказательство.

=

+

+ 1

+ 2

. Если зафиксировать = 0, то

= 0, а

| | = |

|, т.е. при → 0,

→ 0. Исходя из всего этого, получаем

= + 2

= + 2.

Но

→

=

∂

( 0) при

→ 0. Но тогда

∂

= . Аналогично доказывается, что

∂

∂

∂

( 0) = .

[:|||||:]

∂

Обратное, вообще говоря, неверно! Рассмотрим следующий пример: ( , ) = √

.

| |

∂

(0, 0) = lim

(Δ , 0) − (0, 0)

=

lim

0 − 0

= 0.

∂

→0

→0

Аналогично,

∂

(0, 0) = 0. Т.е. у функции существуют обе частные производные, равные 0 в

точке (0,0).

∂

Как известно,

=

+ ¯o(

2 +

2

), что, учитывая предыдущие выкладки,

√

√

эквивалентно

|

·

|

2 +

√2). Если это верное равенство, то по определению o¯

= o(¯ +

→0

√

+

lim

|

·

|

= 0.

→

√

2

2

0

Тогда возьмем последовательность

{

}

, такую что

{

} −−−→

0 и примем = ,

= .

Получаем

→∞

→0 √

√

̸

2 + 2

2

2

1

lim

=

= 0.

77