Последний переход сделан при помощи следующего рассуждения:

+ −1

=

!

+

!

=

( − + 1) ! + !

=

( + 1)!

= .

!( − )!

( − 1)!( − + 1)!

!( − + 1)!

!( − + 1)!

+1

[:|||||:]

3Инвариантность формы дифференциала

3.1 Инвариантность первого дифференциала

Пусть = ( ) — дифференцируемая функция, где — независимая переменная. Тогда, как известно, = ′( ) . Пусть теперь = ( ) = ′( ) . Значит, = ( ( )) и, дифференцируя сложную функцию, получаем = ′( ( )) · ′( ) = ′( ) = ′( ) . Получили то же выражение, что и в случае, когда независим. Это свойство дифференциала и называется

инвариантностью его формы.

3.2 Нарушение инвариантности для дифференциалов высших порядков

Пусть теперь = ( ) — дважды дифференцируемая функция, а либо независимая переменная, либо также дважды дифференцируемая функция. Назовем дифференциалом второго порядка выражение 2 = ( ). Эту запись следует отличать от похожей записи 2, которая представляет собой просто упрощенную форму записи ( )2. Распишем дифференциал 2 порядка как 2 = ( ) = ( ′ ). Теперь необходимо рассмотреть два совершенно различных случая:

— независимая переменная. В этом случае мы имеем право считать, что не зависит от и равен одному и тому же приращению аргумента . Тогда получаем: ( ′ ) = ( ′ )′ = ′′ · = ′′ 2.

= ( ) = ′( ) , где ( ) дважды дифференцируема. Тогда 2 = ( ) =( ′( ) ) = ( ′( ( )) ′( ) ). Теперь продифференцируем полученное выражение по . Важно, что под знаком дифференциала стоит сложная функция, что стоит учитывать при взятии производной. Заметим также, что, аналогично первому случаю, не что иное, как константа:

( ′( ( )) ′( ) ) = ( ′′( ( )) · ′( ) · ′( ) + ′( ( )) ′′( ) ) = = ′′( ) · ′( ) · ′( ) + ′( ( )) ′′( ) 2.

В левом слагаемом имеем ( ′( ) )2 = ( )2 = 2. Заметим также, что 2 = ( ′( ) )′ =′′( ) 2 (правое слагаемое). Тогда в итоге получаем, что

2 = ′′( ) 2 + ′( ) 2 .

(1)

Это не эквивалентно случаю 1. Таким образом, инвариантность дифференциала второго порядка (и, разумеется, тогда более высшего тоже) не выполняется.

55