Используя то, что функция дифференцируема в точке 0, по правилу дифференцирования сложной функции получаем, что:

∂ ( 0) =

=0

= ∂ ( 0)

∂

+ ∂ ( 0)

∂ +

∂

( 0) ∂ .

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

cos

cos

cos

4Градиент

Введём в рассмотрение вектор grad ( 0)

= ( 0) =

∂

( 0);

∂

( 0);

∂

( 0) , который

∂

∂

∂

называется

градиентом

функции

в точке

0. Тогда,

используя

скалярное произведение,

(

)

можно записать, что

∂∂ = (grad ; ¯).

Иными словами, производная функции по направлению вектора ¯ совпадает с проекцией

grad на это направление.

Обозначим через угол между векторами grad

и ¯ и рассмотрим следующее неравенство:

∂ = | grad | · |¯| · cos 6 | grad | = √

(∂ )

+

(∂ )

+

(∂ )

.

∂

∂

2

∂

2

∂

2

Если вектор grad ненулевой, то существует единственное направление ¯, производная по

которому ∂∂ = | grad |. Это направление: ¯ = |gradgrad |, т.е. единичное направление градиента. Отсюда вытекает геометрическая характеристика градиента — это вектор, по направ-

лению которого производная имеет максимальное значение. На этом основании можно условно сказать, что направление градиента — это направление быстрейшего роста функции.

Часть 30

Неявные функции

1Понятие неявной функции

Во многих ситуациях приходится сталкиваться с ситуацией, когда переменная , являющаяся по смыслу функцией аргументов 1, 2, . . . , , задается посредством функционального уравнения ( , 1, . . . , ) = 0. В этом случае говорят, что как функция аргументов 1, . . . , задана неявно. Возникает вопрос, при каких условиях уравнение ( , 1, . . . , ) однозначно разрешимо относительно , т.е. однозначно определяет явную функцию = ( 1, . . . , ), а также при каких условиях эта явная функция непрерывна и дифференцируема.

Рассмотрим функциональное уравнение ( , ) = 2 + 2 − 1 = 0. Рассмотрим некоторую

малую окрестность точки ( 0, 0), где 0 > 0. Тогда для всех точек из этой окрестности явная

√

функция = 1 − 2 тождественна заданному функциональному уравнению, т.к. при подста-

√

новке обращает его в тождество. Аналогично, получаем, что если 0 < 0, то = − 1 − 2. А теперь возьмем точку (1, 0). Для нее не существует окрестности, в которой уравнение ( , ) = 0 было бы тождественно какому-нибудь уравнению вида = ( ).

Функция = ( ) называется неявной функцией, задаваемой уравнением ( , ) = 0, если при подстановке этой функции в данное уравнение оно обращается в верное тождество.

86

2Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции

Вданной теореме мы будем пользоваться прямоугольными , -окрестностями, которые были описаны ранее.

Теорема 30.1. Пусть ( , ) удовлетворяет следующим условиям:

1.( , ) определена и непрерывна в некоторой U( 0, 0).

2.′( 0, 0) ̸= 0 и ′( , ) непрерывна в точке ( 0, 0).

3.( 0, 0) = 0.

Тогда найдется U , ( 0, 0), в которой существует непрерывная функция = ( ), которая при подстановке в ( , ) = 0 обращает его в тождество, т.е. ( , ( )) = 0 для всех U ( 0). Если же вдобавок выполнено:

4. ( , ) дифференцируема в U , ( 0, 0),

то функция = ( ) дифференцируема в U ( 0), причем

′( ) = − ′ ( 0, 0).′( 0, 0)

Из чего следует, что если ′ и ′ непрерывны, то и ′( ) непрерывна.

Доказательство. Поскольку ′( 0, 0) непрерывна, то в некоторой окрестности точки ( 0, 0) она имеет один знак. Например, предположим без потери общности, что ′( 0, 0) > 0. Пусть

U	(	,	), в которой функция ( , ) непрерывна и ′( , ) > 0. Зафиксируем			(		0	−	,	0	+
,	0	0										↑и
Значит, это же условие выполняется и для 0, а, поскольку ( 0, 0) = 0, то ( ̃0					, 0				) < 0
). Тогда ( , )				— функция от . Тогда, ввиду того, что ′( , ) > 0, выполняется ( , ) .
( 0, 0 + ) > 0.							−		̃

Из непрерывности функции ( , ) следует, что U ( 0), в которой U ( 0) ( , 0 −) < 0 и ( , 0 + ) > 0. Зафиксируем * U ( 0). ( *, 0 − ) < 0 и ( *, 0 + ) > 0, тогда по теореме о прохождении непрерывной функции через все промежуточные значения * U ( 0) : ( *, *) = 0. Из монотонности функции ( *, ) мы можем каждому * поставить в соответствие единственное * = ( *), такое, что ( *, *) = 0. Таким образом, доказано существование искомой функции = ( ).

	Заметим, что мы для каждого предъявляем						некоторое , такое, что для	каждого			*		0
	0	) предъявляется соответствующее *			0			0	)	→				).
U	(			U	(	). Иными словами, = ( ): U		(		U		(

А это означает, что = ( ) непрерывна в точке 0. Теперь докажем ее непрерывность в точке* из -окрестности 0.

Рассмотрим точку ( *, *). Для этой точки выполняются все условия доказываемой теоремы, т.к. ( *, *) U , ( 0, 0). Следует отметить, что найденная в процессе доказательства функция= ( ) единственна в окрестности 0, а значит, та же функция используется и при работе с точкой *. Значит, = ( ) непрерывна и в точке *.

Пусть теперь ( , ) дифференцируема в некоторой U( 0, 0). Вспомним, что
( 0, 0) = ( 0 +	, 0 +	) − ( 0, 0) =
	= ′ ( 0, 0)Δ + ′( 0, 0)Δ + 1(Δ ,		)Δ + 2(Δ ,	)Δ .

87