тогда

( ) = 0

[ , ]

( ) > 0

∫

из отрезка

. Пусть теперь

∫

Если

, то подойдет любое

. Но

6

∫

( ) ( )

6 .

∫

( )

Если ( )

C[ , ], то по теореме 14.2

она достигает свои точные грани и . Более

того, в силу непрерывности она пробегает все промежуточные значения между и , т.е.

[ , ] : = ( ). [:|||||:]

1.2 Вторая теорема о среднем

Теорема 40.2. Пусть ( ) и ( ) R[ , ], а ( ) монотонна на [ , ]. Тогда [ , ] :

∫	( ) ( ) = ( + 0) ∫	( ) + ( − 0) ∫	( ) .

Если дополнительно выполнено, что ( ) > 0 и ( ) , то 1 [ , ]:

	1
∫	( ) ( ) = ( + 0) ∫	( ) .

А если ( ) > 0 и ( ) , то 2 [ , ]:

	( ) ( ) = ( − 0) ∫
∫		( ) .
	2

Данные формулы принято называть формулами Бонне.

2Связь между определенным и неопределенным интегралами

Пусть ( ) R[ , ]. Тогда [ , ] ( ) = ∫	( ) , который принято называть интегра-
лом с переменным верхним пределом.

∫

Аналогично, [ , ] ( ) = ( ) , который называют интегралом с переменным

нижним пределом. Впрочем, нас больше будет интересовать первый из них. Рассмотрим некоторые его свойства.

Теорема 40.3. Если ( ) R[ , ], то ( ) C[ , ].

118

Доказательство. Рассмотрим приращение функции ( ):

+Δ

( ) = ( +

) − ( ) =

∫

( ) .

( ) интегрируема, значит она ограничена, т.е. | ( )| 6 . Но тогда

+Δ

+Δ

−−−→→

∫

∫

=

0

( )

C[ , ].

( ) 6

0

[:|||||:]

Теорема 40.4. Пусть ( )

R[ , ] и ( )

C( 0) (т.е. непрерывна в окрестности этой

точки). Тогда ( ) дифференцируема в 0,

причем ′( 0) = ( 0).

Доказательство. По определению ′( 0) =

lim

( )

. Тогда рассмотрим разность

→ 0

( 0) − ( 0) =

+Δ

+Δ

1

∫

( ) − 1

∫

( 0) .

Но тогда

− ( 0) 6

+Δ

,

0 < ( )

( 0) < } <

| ( ) − ( 0)| < {

( )

1

∫

( )

C( 0)

> 0

( ) > 0 :

| − |

|

−

|

+Δ

∫

→ 0

=

(

0) =

(

0)

<

1

=

lim

( )

′

.

[:|||||:]

Теорема 40.5. Пусть

( )

C[ , ]. Тогда у этой функции существует первообразная

( ) =

( ) , где

0 — произвольная

точка из отрезка [ , ]

(в зависимости от

0

0

разные первообразные, отличающиеся на константу).

получаются∫

Доказательство.

Если 0

< , то ′( ) = ( ) по предыдущей теореме.

0

( ) ′( ) = − ( ) =

Пусть теперь 0

> . Тогда ( ) = −

( ) .

∫

∫0

[:|||||:]

119

3Основная формула интегрального исчисления

Наконец докажем ту теорему, ради которой и затевались все предыдущие.

Теорема 40.6 (Формула Ньютона-Лейбница). Пусть ( ) C[ , ], а Φ( ) — первообразная функции ( ) на [ , ]. Тогда

	∫
		( ) = Φ( ) − Φ( )			= Φ( )| .
Доказательство. По предыдущей теореме ( ) = ∫				( ) = Φ( ) + . Но тогда ( ) = 0,
значит = −Φ( ). С другой стороны, ( ) = ∫			( ) = Φ( ) + = Φ( ) − Φ( ).			[:|||||:]

Благодаря этой теореме можно вычислять определенные интегралы практически так же, как и неопределенные, что и демонстрируют две следующие теоремы.

4Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 40.7. Пусть : [ , ] →[ , ] [ , ], = ( ) и = ( ), а функция непрерывно дифференцируема на [ , ], а ( ) непрерывна на отрезке [ , ]. Тогда справедлива формула

	( ) =	{ = ′( ) }		( ( )) · ′( ) .
∫			= ∫
		= ( )

Доказательство. Пусть Φ — первообразная функции на отрезке [ , ]. Тогда Φ( ) — первообразная функции ( ) ′ на отрезке [ , ], т.к.

(Φ( ))′( ) = Φ′( ( )) = ( ( )) · ′( ).

Здесь производные при = , понимаются как односторонние. Дважды воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем (при любом расположении и ):

∫	∫

( ) = Φ( ) − Φ( ) и ( ( )) · ′( ) = Φ( ( )) − Φ( ( )) = Φ( ) − Φ( ).

[:|||||:]

5Интегрирование по частям

Теорема 40.8. Пусть ( )	и ( ) непрерывно дифференцируемы на [ , ]. Тогда справедлива
формула:
∫	( ) ′( ) = ( ) ( )| − ∫	′( ) ( ) .

120