И снова получился интеграл от рациональной дроби:

(	2		2 1		( 2			1)		) ·		2	(		2) + 2 (				2	)
		−		,				−			−	1		−				2 −	1		.
			2												(		2)2
		−						2								−
∫							−

Многочлен 2 + + имеет ровно 1 вещественный корень. Заметим, что в этом случае2 + + = ( − 1)2, т.е. под знаком корня стоит полный квадрат, а значит данный интеграл тривиален.

Некоторые примеры взятия интегралов можно найти на странице 167.

Часть 38

Определенный интеграл Римана I

1Разбиение отрезка

Назовем разбиением отрезка [ , ] множество2

= { } =0 : = 0 < 1 < · · · < −1 < = .

Назовем * измельчением разбиения , если любая точка разбиения является точкой разбиения *. Этот факт будем обозначать как * .

1.1Свойства измельчения

1.Если 2 1 и 3 2, то 3 1. Это свойство напрямую следует из определения.

2.Для любых 1 и 2 существует : 1 и 2. Действительно, достаточно выбрать в качестве все точки из 1 и 2. Т.е. взять = 1 2 — объединение разбиений.

2Определенный интеграл

Рассмотрим функцию ( ), определенную в каждой		точке сегмента [ , ]. Введем несколько
обозначений. Пусть [ −1, ] — отрезок разбиения , а		= − −1 — его длина. Назовем
диаметром разбиения число = max	, т.е. длину наибольшего интервала разбиения.
16 6
Наконец, обозначим через произвольную точку отрезка [			−1	,	].

Назовем интегральной суммой функции на [ , ] сумму

∑

( , ) = ( )Δ .

=1

2Спасибо Александре Корытовой за предоставленную лекцию.

109

Предположим, что [ , ]( ) > 0. Тогда ( )Δ — площадь прямоугольника со стороной и высотой( ). Это проиллюстрировано на рисунке справа. Таким образом, интегральная сумма, отвечающая выбранному разбиению и промежуточным точкам , представляет собой площадь ступенчатой фигуры. Нетрудно понять, что чем меньше диаметр разбиения, тем «ближе» эта площадь к площади фигуры, ограниченной графиком функции ( ) и прямыми = и = .

Число называется определенным интегралом от функции ( ) по отрезку [ , ], если

> 0 ( ) > 0 : , < , ( 1, . . . , ) | ( , ) − | < .

В этом случае функция ( ) называется интегрируемой по Риману на сегменте [ , ]. Это обозначается как ( ) R([ , ]). Фактически по определению можно записать

		→0
	=		∫
		lim ( , ) =	( ) .

Следует отметить, что значение этого предела не должно зависеть от выбора и . Последняя запись, кстати, демонстрирует первоначальный смысл знака интеграла — это не что иное, как сумма. Теперь сформулируем несколько важных теорем.

3Необходимое условие интегрируемости

Теорема 38.1. Если функция ( ) интегрируема по отрезку [ , ], то она является ограниченной на нем.

Доказательство. Докажем от противного. Пусть ( ) не ограничена на [ −1, ] [ , ]. Тогда запишем интегральную сумму в следующем виде:

	∑
( , ) = ( )Δ +	( )Δ .
	=1
	̸
	=

Выберем точки произвольным образом для всех ̸= . Поскольку ( ) не ограничена на [ −1, ], то точку можно выбрать таким образом, чтобы сделать сумму справа сколь

угодно большой. Сделаем эту сумму больше, чем, например,	1	. Но тогда @ lim ( , ), что
противоречит условию.		→0
		[:|||||:]

Обратное неверно! Действительно, рассмотрим в качестве примера функцию Дирихле на

отрезке [0, 1]:	{0,		R Q.
( ) =
	1,		Q,

С одной стороны, если выбрать все так, что ( ) = 1 (т.е. Q), то ( , ) = 1. Но если взять все R Q, то ( , ) = 0.

110

4Критерий интегрируемости функции по Риману

Назовем колебанием функции на

отрезке [ , ] число

,

[

,

]) = sup

|

(

′

) −

(

′′

)| = sup

) −

inf ( ).

(

(

[ , ]

′, ′′ [ , ]

[ , ]

Обозначим ( ) = ( , [ −1, ]).

Теорема 38.2. Функция ( ) интегрируема по Риману на отрезке [ , ] т.и.т.т., когда

> 0 ( ) : , <

∑

( )Δ < .

=1

→

∑

( )Δ = 0.

Или, иными словами, lim

0 =1

Доказательство.

Докажем сначала необходимость. Пусть ( )

интегрируема по Риману на отрезке [ , ].

Тогда

lim

( , ) = . Т.е.

> 0

( ) : ,

< :

|

( , )

−

|

< .

0

4

→

6

Зафиксируем , , . Выберем теперь такие ′, ′′

[

−1

,

], что

( )

2( ( ′)

−

( ′′)).

Получаем

( )Δ 6

2

( ( ′) − ( ′′)) ·

= 2 | ( , ′) − ( , ′′)| 6

=1

=1

∑

∑

6

2( ( , ′)

+

( , ′′) )

6

2

+

= .

|

−

|

|

−

|

(

4

4)

Что и требовалось доказать.

Теперь докажем достаточность. Для начала докажем следующую лемму:

Лемма 38.3. Пусть = { } =1 и * = { *} =1* . Тогда если * , то

| ( , ) − *( , *)| 6	∑	(1)
	( )Δ .
	=1

Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок разбиения

[ −1, ]. В нем содер-

жатся какие-то точки разбиения *:

−1

<

−1+1

<

· · ·

<

,

причем

−1

=

−1

и

. Выберем на [ −1, ] точку

= . Тогда

=

и на каждом маленьком

= −1

. Теперь рассмотрим разность

отрезка точки

*

подотрезке этого ∑

( )	·		−		( *)	·
				∑

= −1

=

( )

( *)

·

=

= −1

− = −1

∑

∑

=

( ( )

−

( *))

6

( )Δ

= ( )Δ .

= −1

= −1

∑

∑

Т.к. это выполнено для любого , а разность слева в данном неравенстве является частью разности интегральных сумм в (1), то получили то, что и требовалось доказать. [:|||||:]

111