Невыпуклые многоугольники, которые рассматриваются в настоящей работе, – это многоугольники, границы которого принадлежат n вершин выпуклости и 2m+1 чередующихся вершин выпуклости и невыпуклости.

Большой вклад в развитие комбинаторной геометрии внесли отечественные ученые А. С. Маркус, И. Ц. Гохберг и швейцарский геометр Г. Хадвигер.

В задаче требуется найти минимальное число меньших копий, достаточное для покрытия данной фигуры её образами при гомотетии. Для решения этой задачи необходима теорема Гохберга – Маркуса. В работе рассматривается покрытие треугольников, четырёхугольников, в том числе и параллелограмма, пятиугольников, выпуклых многоугольников их меньшими копиями при гомотетии. Новизна настоящей работы состоит в том, что методы и идеи покрытия выпуклых многоугольников их образами при гомотетии перенесены на класс невыпуклых многоугольников. В связи с особенностями данного класса невыпуклых фигур появилась необходимость введения ряда новых объектов: теневых областей, в которых лежат возможные центры гомотетии, заключающих ребер.

Оказалось, что количество меньших копий исходного многоугольника, достаточное для покрытия его меньшими образами, зависит от расположения заключающих ребер многоугольника. Возможны три случая расположения заключающих ребер невыпуклого многоугольника данного класса. Каждый из этих случаев рассмотрен в настоящем докладе.

Полученные результаты могут быть применены для организации исследовательской деятельности учащихся 9–10-х классов.

СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ФИНАНСОВЫЙ АНАЛИЗ»

ALPHA-ДОСТИЖИМЫЕ ОБЛАСТИ В НЕГЛАДКОМ СЛУЧАЕ

К. Ф. Амозова, аспирант 1-го года обучения

Научный руководитель – д. ф.-м. н., проф. В. В. Старков

Пусть α [0;1), p Rn ,	K+ ( p,α,r)					– конус, полученный пересече-
нием замкнутого евклидова шара				n ( p, r) радиусом r > 0 и конуса
			B
	n					p
		: x − p,								απ
K+ ( p,α, r) = x R									≥|| x − p || cos	.
					||	p
							||			2
										151

Определение. [4] Область D Rn , 0 D, называется α - достижимой (относительно 0 ), если для каждой точки p ∂D сущест-

вует такое число r = r(p) > 0 , что конус K+ ( p,α, r) Rn \ D.

В[4] было доказано, что α -достижимые области являются звездообразными и удовлетворяют условию конуса, важному для приложений, например таких, как теория интегральных представлений функции, теоремы вложения, вопросы граничного поведения функций, разрешимости задачи Дирихле.

Вслучае α = 0 класс 0 -достижимых областей в R n совпадает с классом областей, звездообразных относительно 0 .

Далее будем предполагать, что

−функция F(x) – определена и непрерывна на Rn ;

−открытое множество D = {x Rn : F(x) < 0} содержит 0;

−в точках множества уровня S ={p Rn : F(p) = 0} существуют про-

изводные ∂∂Fl ( p) по всем направлениям l (K+ ( p,α) − p) \ {0}.

В [3] в гладком случае был получен критерий звездообразности множества D :

(grad F(p), p) > 0 для любого p ∂D .

Затем в [4]		был получен критерий α -достижимости области D в
гладком случае:
	grad F(p)						απ
			,	p		≥ sin		для любого	p ∂D	(grad F(p) ≠ 0).
	|| grad F(p)	||		|| p ||			2

В негладком случае критерий α -достижимости области получить не удалось, но были получены необходимое и некоторые достаточные условия α -достижимости области, определенной неравенством F(x) < 0

для непрерывной функции F из R n .

Теорема 1. [1] 1) Пусть выполнены условия a), b), c). Тогда

i) из α -достижимости области D для некоторого α [0;1) следует,

что ∂∂Fl ( p) ≥ 0 для любого направления l (K+ ( p,α) − p) \ {0} и для любой точки p S;

152

ii) если D – ограниченное множество и для некоторого α [0;1)

производные
	∂F	( p) > 0	(1)
	∂l
			p ∂D , то D –
для любого l (K+ ( p,α) − p) \ {0}		и для любой точки

α-достижимая область;

2)Если F(x) удовлетворяет условиям а) и b), множество D ограни-

чено и для некоторого α [0;1)			и δ > 0 у F существуют производные
по направлениям l (K+ (x,α) − x) \ {0}, и
	∂F	(x) >		2F(x)	cos	απ	(2)
						2
	∂l			|| x ||

для любых х Dδ = {x D : ρ(x,S) < δ }, где ρ(x,S) расстояние от x до

S , то D – α -достижимая область.

Условие ограниченности множества D здесь естественно в силу доказанного в [4] факта ограниченности α -достижимых областей D ≠ R n при α > 0 . Заметим также, что в неравенстве (2) правая часть отриц а- тельная, в отличие от неравенства (1).

Теорема 2. [2] Пусть Ψ(ξ) - такая дифференцируемая, строго воз-

растающая числовая функция на R+						={ξ R : ξ > 0}, что существует
	def		функция F(x) удовлетворяет условиям а) и b) и
lim Ψ(ξ) = 0 = Ψ(0),
ξ →+0
множество D ограничено.				Если для некоторого α [0;1) и δ > 0 у F
существуют производные по направлениям l (K+ (x,α) − x) \ {0},										и
	∂F		′	−1		2		−1	απ	(3)
		(x) >	−Ψ (Ψ		(−F(x)))		Ψ		(−F(x)) cos 2
	∂l					|| x ||

для любых х Dδ , то D – α -достижимая область.

Замечание 1. Если в условиях теоремы 2 в качестве Ψ взять функцию Ψ(ξ) = ξ n , n N , то условие (3) примет вид

∂F	(x) >	2nF(x)		cos	απ .
∂l
		||	x ||		2
Если в условиях теоремы		2	в	качестве Ψ взять функцию

Ψ(ξ) = e−1 / ξ , то условие (3) примет вид

153