Глава 4. Рассуждение

Обращение: Все, кто верят в конец света,

являются людьми.

Превращение: Все люди верят в гармонию мира. Противопоставление Все, кто верят в конец света, верят предиката: в гармонию мира.

Обращением называется преобразование сужде­ния, в результате которого субъект исходного сужде­ния становится предикатом результирующего, а пре­дикат исходного — субъектом резуkьтирующего. Превращением называется преобразование суждения в суждение, противоположное по качеству с предика­том, противоречащим предикату исходного суждения. Противопоставлением предикату называется пре­образование суждения, в резуkьтате которого субъек­том становится понятие, противоречащее предикату, а предикатом — субъект исходного суждения.

Наконец, переставим местами посылки рассуж­дения и получим стандартную форму простого кате­горического силлогизма:

А Все люди верят в гармонию мира М Р А Все, кто верят в конец света, явля~тся людьми SM

А Все, кто верят в конец света, верят и в гармонию мира SP

Полисиллогизмом называется последователь­ность простых категорических силлогизмов, в кото­рой заключение предшествующего силлогизма явля­ется посылкой последующего. Например, «Никто не верит политикам. Каждый верит в себя. Верящий в себя, не верит политикам. Политик верит в себя. Зна­чит, он не верит политикам».

Энтимемой называется простой категоричес­кий силлогизм, в котором опущена посылка или

133

_______________Логика_______________

заключение. Например, «Действительность разумна. Следовательно, действительность подвержена сомнению». Соритом называется полисиллогизм с опу­щенными промежуточн{ми посылками или заклю­ченими. Например, «Девушки не любят, когда с ними спорят. Девушки не могут быть филосnфами. Поэто­му некоторые девушки никогда не ошибаются».

Упражнения

4.15. Проверьте логическую корректность силло­гизма, полисиллогизма, знтимемы и сорита, представленных выше в качестве примеров, на круговых схемах. Для энтимемы и сори­та предваритеkьно реконструируйте опущен­ные промежуточные шаги рассуждения.

4.16. Проверьте логическую корректность и надеж­ность следующих простых категорических силлогизмов, предваритеkьно представив их в стандартной форме. Проверку проведите по таблицам совершенных силлогизмов и ме­тодом круговых схем.

1. Только в споре рождается истина.

Кет такого спора, в котором бы один не был глупцом, а другой мошенником.

Истина открывается глупцом или мошенником.

2. Некоторые высказывания противоречивы. Лишь непротиворечивое возможно.

Существуют невозможные высказывани. 134

Глава 4. Рассуждение

3. Если и есть любители получать двойки, то это не студенты. Все студентки любят мороженое.

Некоторые любители мороженного не любят получать двойки.

Классическая логика

5.1. Язык классической логики

Классическая логика предикатов является рас­ширением классическмй л¬гики высказываний за счет более глубокого и детального анализа структу­ры языковых выражений. Элементарными осмыслен­ными выражениями языка логики высказываний являются атомарные формулы и соответствующие им атомарные высказывания типа: «Сегодня прекрас­ная погода», «Я получил двойку на экзамене» или «Политическая ситуация в настоящее время харак­теризуется стабильностью». Однако логика выска­зываний обладает слаб{ми выразительными возмож­ностми своего формального языка. В ней с помо­щью логических операторов и связок — отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивален-ции, изучаются логические правила построения или образования структурно более сложных формул язы-

136

_____Глава 5. Классическая логика предикатов

ка, а также логические правила преобразования од­них логических структур языка в другие методом эквивалентных преобразований, либо методом дедук­тивного вывода некоторой формулы языка из пред­шествующих ей в логическnм выводе формул. Ска­жем, высказывание «Если я не принесу цветы, то она обидится на меня», то есть —iA—»В, эквивалентно пре­образуется в высказывание «Неправда, что я не при­несу цветы, но она не обидится», —|(-|Ал —iB). Вы­сказывание «Он знает логику», А, логически выводи­мо из пары высказываний: «Если он не знает логику, то он глуп», —1 А—>В, и «Он не глуп», —iB, то есть име­ется дедуктивный вывод: —iA->B, —iB=>A.

Очевидная слабость выразитеkьных возможнос­тей формального языка логики высказываний за­ключается в том, что в нем не проводится логичес­кий анализ структуры самого атомарного высказы­вания. Тот факт, что этот недостаток языка логики высказываний не является тривиальным, можно про­демонстрировать на следующих примерах. Интуи­тивно ясно, что высказывание «Все политики — болтуны» можно эквивалентно преобразовать в вы­сказывание «Не существует молчаливых не болтли­вых политиков», однако данная логическая интуи­ция не может быть прояснена средствами логики высказываний. Другой пример: этих средств недо­статочно для обоснования вывода: Бога нет («меди­цинский факт»). Значит, я не бог. Примеры пока­зывают ограниченные выразительные возможности языка логики высказываний и определяют необхо­димость его расширения.

Формальный яз{к классической логики преди­катов полностью содержит все логические прави­ла образования и преобразования формул языка,

137

_______________Логика____

принятые в логике высказываний. В то же время в нем проводится дальнейший анализ, связанный со структурой атомарных высказываний. По аналогии с силлогистикой, в которой простое категорическое суждение рассматривается в его субъективно-пре­дикатной структуре, в атомарном высказывании яз{ка логики предикатов выделяются предметные или индивидные символы и предикатные символы. Индивидные символы выражают в языке логики предикатов, как обычно, собственные имена или еди­ничные термины, которые в качестве своих значе­ний указывают на отдельные предметы, индивиды из фиксированного предметного индивидного уни­версума мышления. Например, собственное имя «Анна» указывает в качестве своего значения на человека в контексте фиксированной группы лю­дей. Имя «Венера» в контексте астрономии указы­вает на планету Солнечной системы, а в контексте древнегреческой мифологии — на богиню любви. На отдельные, единичные, индивиды из предметно­го универсума указывают и такие термины, как «этот чҐлlвек», «данный прецедент», «определенная выше ситуация» и так далее. Термины, указывающие на единичные предметы из универсума мышления в качестве своих значений, будем называть индивид‑ными ивнстантами.

Индивидные термины естественного языка и ин­дивидные символы языка логики предикаІкв могут не указывать явн{м образnм на определенный еди­ничный индивид в качестве своего жначения в неко­тором фиксированном предметном универсуме. К таким терминам можно отнести вырадеmиэ «кто-то», «что-то», «некто», «нечто» и так далее. Значения

138

_____Глава 5. Классическаю л¬гика предикатов

подобных терминов мыслятся как «пробегающие» по предметному универсуму, к¬вда каждый индивид из универсума мог бы быть, а мог бы и не быть значени­ем данного термина. Следsюyие примеры наглядно иллюстрируют подобную интерпретацию терминов: «Он всегда подписывается псевдонимом "Друг"», «Кто-то потушил свет», «Что-то здесь не сходится», «Я уже видел нечто подобное». Термины, которые не указывают явным образом на конкретный единич­ный индивид в качестве своего значения, но предпо­лагают наличие такого значения в фиксированном предметнnм универсуме, будем называть индивид­ными переменными.

Таким образом, формальный язык классической логики предикатов включает в себя не только вы­сказывания, но и индивидные константы и перемен­ные. Это, конечно, расширяет его выразитеkьные воз­можности и логический потенциал.

Структура атомарного высказывания языка ло­гики предикатов помимо индивидных символов — индивидных констант и переменных — содержит так называемые предикатные символы. Предикатные символы, или просто — предикаты, указывают в ка­честве своего значения на определенные свойства индивидов или на некоторые отношения между ин­дивидами. Схемы предикатных выражений языка могут выглядеть следующим образом: « - прекра­сен», « - любит -»,«-,-,- определяют деловой тре­угольник в советский период». Предикатные выра­жения языка фиксируют свойства, приписываемые некоторому индивиду в атомарнnм высказывании, — «Аполлон прекрасен», двуместные отношения между индивидами — «Миша любит Машу», трехместное

139

_______________Логика_______________

отношение — «Администрация, партком и профком составляли рабочий треугольник учреждения в со­ветский период», «Маша, Миша и Коля составля~т пресловутый любовный треугоkьник», четырехмест­ные отношения — «АВ, ВС, CD, DA — упорядоченная четверка, образующая стороны квадрата». Таким образом, каждое атомарное высказывание языка ло­гики предикатов включает в свою структуру преди­катный символ и один или несколько индивидных символов.

Пусть Р¹ — одноместный предикат «быть дока­занным», Р² — двуместный предикат «кричать на», a_t — «этот тезис», а₂ — «жена», а₃ — «муж». Тогда P^l(aj) можно прочесть как: «Этот тезис доказан», высказывание -P²(a₂, а₃)Р²(а₃, а₂) читается: «Не­правда, что жена накричала на мужа, это муж наорал на жену». Высказывание Р^х(х) читается: «Нечто до­казано», Р²(х, у) — «Кто-то накричал на кого-то».

Чтобы прояснить вопрос, всему ли множеству индивидов из предметного универсума принадлежит некоторое свойство или только части индивидов уни­версума, в язык логики предикатов вводятся кван­торы: квантор всеобщности — v^x> читается: «Для всякого х», и квантор существования — Зх, читает­ся: «Для некоторого х». Так, формула логики пре­дикатов v^xP(^x) означает высказывание «Для вся­кого х, х обладает свойством Р»; формула ЗхР(х) означает — «Для некоторого х, х обладает свойством Р»; формула v^x₁3x₂R(x₁, x₂) означает — «Для каж­дого х_х существует х₂ такой, что х_х находится с х₂ в отношении R». Логика предикатов иногда иначе на­зывается кванторной логикой.

Таким образом, формальный язык классической логики предикатов обладает необходимыми средства-

140

_____Глава 5. Классическая логика предикатов____

ми логического анализа структуры естественного языка. Этот факт приобретает важное значение не тоkько для математики и естественнонаучного зна­ния, но и для различных областей гуманитарного познания, где изучаются методы и средства логичес­кого моделирования: для лингвистики, эконnмики, социологии.

Введем далее строгие формулировки языка кван-торной логики, необходимые для исследования тео­рии, методов и средств классической логики предика­тов, а также ее применения к анализу естественного языка. Объективный формальный язык классической логики предикатов является расширением языка классической логики высказываний. Для целей, в которых будет использован данный объективный язык, его синтаксис ограничивается символами, принадле­жащими к следующим категориям.

Индивидные символы. Язык классической логи­ки предикатов (КЛП) содержит счетные множества индивидных констант а_х, ..., а_ш, связанных предмет­ных переменных х_х, ..., х_т, а также свободных пред­метных переменных у_а, ..., у_т. Различные обозначе­ния для свободных и связанных предметных пере­менных вводятся исключитеkьно в технических целях. Различие свободных и связанных перемен­ных определено ниже.

Предикатные символы. Язык КЛП содержит счетное множество п-арных предикатных символов Р", ..., Р^ для п = О и более. 0-местные предикатные символы образуют счетное множество пропозицио­нальных переменных языка классической логики высказываний (КЛВ).

Высказываниеобразующие операторы. Язык КЛП со­держит следующие символы: —i — для однnместного

141

_______________Логика_______________

оператора «неверно, что»; —> — для двуместной пропозициональной связки «влечет»; v* — для универсального квантора «для каждого х такого, что».

Технические символы. (, ) — скобки.

Определение 5.1. Понятия термина, атомарной формулы и формулы языка КПП определяются индук­тивно совместн{ми условими:

Каждая свободная предметная переменная есть термин.

Каждая индивидная константа есть термин.

Если Р" — n-местный предикатный символ, n sO, t,, .... t_n — термины, то P(t_1f ..., t_n) есть атомарная формула.

Каждая атомарная формула есть формула.

Если А и В—формулы, то —i А, А —> В есть формулы.

Если A(t) — формула, t — термин, х — связанная предметная переменная, не входящая в А, то V х А(х) есть формула.

Термины, атомарные формулы и формулы языка КЛП образуются только в соответствии с вышепере­численными условиями.

Определение 5.1, как и последующие, является конструктивным. В нем понятия термина, атомар­ной формулы и формулы определяются через способ указания на их построение. Это делает возможным строго отличить осмысленные выражения языка КЛП от бессмысленных.

Определение 5.2. Понятия свободного и связан­ного вхождения предметной переменной в форму­лу А языка КЛП определя~тся индукцией по длине формулы А.

А = P(t_t,..., t_n): вхождение переменной у в формулу А свободно, если у = t,, 1 < i < n; А не содержит свя­занных вхождений.

142

___Глава 5. Классическая логика предикатов

А = V хВ(х): вхождение переменной у в формулу А свободно, если вхождение у в В свободно и у?ьх; вхождение переменной х в формулу А связано.

А =—1 В: вхождение переменной у (переменной х) в формулу А свободно (связано), если у (х) в В свобод­но (связано).

А = В —> С: вхождение переменной у (переменной х) в формулу А свободно (связано), если свободно (свя­зано) вхождение у (х) в формулу В или С.

Таким образом, предметные переменные могут входить в формулы свободно и связанными кванти-фикацией. Например, в формуле КЛП:

Vx^Afr^y)-» -i3x₂B(x₂,x₁))

предметные переменные х_х и х₂ связаны соответствен­но универсальным квантором и квантором суще­ствования. Свобnдной в формуле является перемен­ная у. Различия между свободным и связанным вхождением предметных переменных в формулу важны, так как они определяют различные области интерпретации для этих переменных. Универсумом значений для свободной предметной переменной яв­ляется весь фиксированный универсум мышления в целом, в то время как для связанной предметной переменной область интерпретации ограничена об­ластью действия соответствующего квантора.

Определение 5.3. Множество всех подформул фор­мулы А определяется индукцией по длине А.

А = P(t,, ..., t_n): формула Р(1,,..., t_n) является един­ственной подформулой формулы А.

А =—iB: подформулами формулы А явля~тся все подформулы формулы В и сама формула —iB.

А = В —> С: подформулами формулы А являются все подформулы формул В и С и сама формула

в-»е.

143

_____________ Логика_______________

А = V хВ(х): подформулами формулы А являются все подформулы каждой формулы вида B(t), где t — произвольный термин, и сама формула V хВ(х).

Свойство подформульности, определенное, может быть, излишне педантично, тем не менее, играет важ­ную роль в построениях КЛП.

Определение 5.4. Символы: л, v, <->соответ­ственно для двуместных пропозициональных связок «и», «или», «взаимно влечет»; эх — для квантора существования «для некоторого х такого, что» опре­деля~тся следующими дефинициями.

Дф 1.1 А л В =_Дф -п(А -> -В);

Дф 1.2 A v В =_Дф -А -> В ;

Дф 1.3 А <-> В =_дф (А -> b) л (в -» а) ;

ДФ1.4 эха(х)=_дф -,vx-a(x).

Таким образnм, язык классической логики пре­дикатов может быть сформулирован без ущерба для его выразительных возможностей, используя лишь отрицание, одну любую пропозициональную связку и один любой квантор. Остальные пропозициональ­ные связки и квантор могут быть введены в теорию КЛП соответствующими дефиницими.

Определение 5.5. Формула А языка КЛП имеет негативно-нормальную форму, если в любой ее под­формуле вида —! В формула В является атомарной, а сама формула А построена без использования дву­местных проoозициональных связок —» и <-».

144

_____Глава 5. Классическая логика предикатов_____

Иначе говоря, формула языка КЛП находится в негативно-нормальной форме, если она содержит лишь связки конъюнкцию л и дизъюнкцию v , кван­торы всеобщности у ^и существования з, а все отри­цания -1 в ней находятся лишь перед атомарными подформулами. Скажем, формула

Зх^х-ДС-пАСх^зОл B(y))v Vx₃-.C(x₂,x₃))

имеет негативно-нормальную форму, если ее подфор­мулы А и С являются атомарными формулами и подформула В не содержит отрицаний перед неато­марными подформулами.

Теорема 5.1. Пусть А — произвольная формула КЛП-языка. Тогда А<->А°, где А° есть формула А в негативно-нормальной форме (н.н.ф.).

Доказатеkьство. Индукцией по длине подфор­муkьности формулы А, используя тезисы КЛП и оп­ределение 5.4.

А = -iP^,...,^): A — формула в негативно-нормальной форме по определению 5.5. А = (В <-> С): А <» (В -> С)л (С ->- b) по Дф 1.3 А = (В -> С): ао (-.В v С) по КЛВ А = -,(В л С): А <» (-.В v -,С) по КЛВ А = -,(В v С): А <» (-,В л -iC) по КЛВ А - -iVxB(x): A <» Эх-Л(х) по Дф 1.4 и КЛВ А = -₁ЗхВ(х): А о Vx-,B(x) по Дф 1.4 и КЛВ

Теорема доказана. Действительно, отрицание ато­марной формулы есть формула в н.н.ф. Эквиваленция

145

Логика

может быть представлена как конъюнкция импли­каций по законам КЛВ. Отрицание конъюнкции (дизъюнкции) эквивалентно по КЛВ дизъюнкции (конъюнкции) отрицаний. Отрицание перед кванто­рами легко «проносится» в формулу по Дф 1.4.

Пример. Привести следующую формулу КЛП-язы-ка к н.н.ф.

-п(ух(А(х)-> (B(x)v С(х)))л ЗхЬА(х)л b(x))).

Решение. Методом эквивалентных преобразова­ний, и±лользуя КЛВ и дефиниции определения 1.4.

1. -,vx(a(x) -> (В(х) v С(х))) v -,Зх(-,А(х) л В(х)) 1^/1. ²- зх-,(а(х) -> (в(х) v С(х))) v Vx-,(-,A(x) л b(x)) 1 V/ 1,

3. Зх-,(-,А(х) v b(x)v C(x)) v Vx-i(-nA(x)A b(x))

4. 3x(A(_X)A-₁B(x)A-,C(x))vVx(A(x)v-^B(x))

Язык классической логики предикатов очень удо­бен для логического анализа силлогистических суж­дений и рассуждений. В действительности аристоте­левская силлогистика является фрагментом КЛП, представляющим кванторную логику одноместных предикатов. Все категорические атрибутивные суж­дения силлогистики легко переводимы на КЛП-яз{к в следующей форме.

146