Глава 5. Классическая логика предикатов

4. Если В = ЗхС(х,у₁,...,у_п) и Be сп[а], то

С(у,у₁,...,у_п)е сп[а]для новой свободной предмет­ной переменной у, yt встречающейся в списке Сп[А].

5. Если В = VxC(x,y₁,...,y_n) и ВбСп[д], то

С(у,У1,.--,У_п)<= сп[а)для каждой свободной предмет­ной переменной у, встречающейся в списке Сп[А[.

Определение 5.12. Модельной МК[А]-конструкци-ей для формулы А называется множество альтерна­тивных списков формул iCn[AJ₁,...,Cn[A]_nj_i постро­енных по правилам определения 5.11.

Определение 5.13. Список Сп[А] называется зам­кнутым, если он содержит формулу В такую, что

ВеСп[д]и -|ВеСп[А]. Модельная конструкция на­зывается замкнутой, если замкнут каждый принадле­жащий ей список формул из {Сп^]^.

Определение 5.14. МК-моделью для формулы А называется любой незамкнутый список формул Сп[А].

Определение 5.15. Формула А называется МК-ис-тинной, если и тоkько если она имеет МК-модель, определенную на МК[А]-конструкции.

Определение 5.16. Формула А называется логи­чески истинной в классической логике предикатов, если и тоkько если ее контрдуал, то есть негатив­но-нормальная форма формула —iA, не является МК-истинн{м ни на одной из МК-моделей. Обозна­чается: h=A.

167

_______________Логика________________

Теорема 5.3. l=A на модельной структуре М = (U, f) если и только если (==А на модельной конструкции МК [А].

Теорема приводится без доказатеkьства.

С логической точки зрения метод модеkьных струк­тур и метод модельных конструкций равносильны по своим результатам. В соответствии с теоремой 5.3 они приводят к одному и тому же множеству логических формул, которые считаются логически истинными. Но каждый из этих методов опирается на отличающиеся друг от друга концепции истинности. Как уже было сказано, метод модеkьных структур основывается на классической или корреспондентской концепции, в соответствии с которой быть истинным, значит соот­ветствовать действитеkьности.

В МК[А]-конструкции реализуется концепция ко­герентности истины. В соответствии с когерентной концепцией истины высказывание является истин­ным, если оно совместимо с множеством других выс­казываний и может быть включено в данное множе­ство без противоречия. Безусловно, в модеkьные струк­туры и модельные конструкции вкладывается различный философский смысл относитеkьно поня­тия истинности. Модеkьные структуры определяют семантическую категорию истинности как отношения между языком и реальностью. В модельных конст­рукциях категория истинности устанавливает отно­шения между лингвистическими объектами: форму­лой и списком формул. В модельных структурах ос­новными семантическими понятиями являются понятия предметного универсума и определенного на нем множества предикатов, то есть, в целnм, — поня­тие состояния объекта. В модеkьных конструкциях

168

Глава 5. Классическая логика предикатов

таким основным понятием является понятие спис­ка формул, а также множества атомарных подформул списка, образующих описание состояния.

Пример 1. Доказать методом модельных конст­рукций логическую истинность формулы

Зх(А(х)л В(х)) -> (ЗхА(х) л ЗхВ(х)). Доказательство. Приведем данную формулу в негативно-нормальную форму методом эквивалент­ных преобразований.

1. А = эх(а(х) л В(х)) -> (ЭхА(х) л ЭхВ(х)).

2. -,Зх(А(х) л b(x)) v (ЗхА(х) л ЗхВ(х)). КЛВ

³- А° = Vx(-nA(x) v -.В(х)) v (ЭхА(х) л ЗхВ(х)), %>у(,

где А° — негативно-нормальная формула для А. 4. Контр. А[А] = Эх(А(х)лВ(х))л(Ух-,А(х)уУх-,В(х)), где Контр. А[А] — контрдуал для формулы А°.

Модельная конструкция контрдуала для форму­лы А° строится в соответствии с правилами 1—5 оп­ределения 5.11.

1. Контр. А[А] (1)

2. Зх(А(х)дВ(х)) (2)

3. Vx-,A(x) v Vx-,B(x) (2)

4. (А(у)лВ(у)) (4) 5- А(у) (2) 6. В(у) (2) 7.1. Vx-,A(x) 7.2. Vx^B(x) (3) 8.1. ^А(у) 8.2 ^в(у) (5) (5-8.1)— противоречие; (6-8.2) — противоречие.

169

_______________Логика

Следовательно, по определениям 5.12—5.16:

Пример 2. Проверить логическую корректность следующего силлогизма методом модельных кон­струкций.

Только философы эгоисты.

Нет циника, который не был бы эгоистом.

Следовательно, все циники — философы.

Решение. Данный силлогизм имеет следующий перевод на формальный язык (см. пример к упр. 5.1) Vx(a(x) -» Ф(х)), -Вх(ц(х) л -.Э(х)) => Vx(li;(x) -» Ф(х)).

Данный перевод силлогизма на формальный язык имеет следующую негативно-нормальную форму (см. пример к упр. 5.2.)

Vx(-O(x) v Ф(х))л Ух(-Щ(х)л Э(х))л Зх(ц(х) v -пФ(х)). Построим модельную конструкцию для контрду-ала формулы А в негативно-нормальной форме, ис­поkьзуя условия 1-5 определения 5.11.

1.	Vx(-,afx)v Ф(х))л Ух(-^ц(х)л Э(х))л Эх(ц(х) v -,ф(х))	(1)
2.	Ух(-тЭ(х)уф(х))	(2)
3.	Ух(-,Ц(х)лЭ(х))	(2)
4.	Эх(ц(хК-,ф(х))	(2)
5.	ц(у)у-,ф(у)	(4)
6.	-,ц(у)лЭ(у)	(5)
7.	-,Ц(у)	(2)
8.	э(у)	(2)
9.1.	ц(у) ^9-^2- ->ф(у)	(3)
	7-9.1 -® Ю.2. -,э(ууф(у))	(5)
	11.2.1. _,э(у) 11.2.2. ф(у)	(3)

8-11.2.1 — ® 9.2-11.2.2 —<

___Глава 5. Классическая логика предикатов

Модельная конструкция для контрдуала замкну­лась. Следовательно, силлогизм логически корректен.

Упражнения

5.8. Проверьте логическую корректность силло­гизмов, приведенных в упр. 5Л, методом мо­деkьных конструкций.

5.9. Докажите логическую истинность формул упр. 5.6 методом модельных конструкций.

5.10. Опровергните логическую истинность формул упр. 5.7 методом модельных конструкций.

5.3. Теория доказатеkьств классической логики предикатов

Теоретическую логику иногда называют фор­мальной к огромнnму неудовольствию бол|шин­ства исследователей в области логической науки и ее истинных почитателей. Такая неудовлетво­ренность в терминологии вызвана прежде всего тем, что под термин «формальная логика», пред­намеренно или по незнанию, подводят всю совре­менную структуру логики в целом, отказывая ей в какой-либо содержатеkьной значимости. Одна­ко это, конечmо, не так. Теория моделей класси­ческой логики предикатов — образца современной логической теории — обнаруживает глубинный содержательный смысл, заложенный в такие семан-

171

_______________Логика_______________

тические категории, как понятие модели или ис­тинности. Содержательные аспекты логического исследования были подробно рассмотрены и изу­чены в предшествующем разделе.

И все же профессиональный исследоватеkь в об­ласти логического познания, изгоняя крамолу допу­щения некоторой «содержательной логики», отлич­ной от изучаемой и развиваемой им, всегда готов признать, что значительная часть теоретической ло­гики занимается исключительно формальн{ми про­блемами, никак не связанными непосредственно с изучением и моделированием реальности. Эта часть логики называется теорией доказатеkьств, в которой анализируются проблемы }ффективной и регуляр­ной выводимости одних логических структур из дру­гих, не заботясь о том, какие содержатеkьные интер­претации могли бы быть для них подходяyими.

Теория доказательств, в первом приближении, ис­следует логические правила образования формальных структур, то есть формализованного языка теории, а также правила преобразования этих структур в дру­гие формальные структуры. Последние являются ло­гическими правилами вывода и доказатеkьства. В разделе 4.2, относящемся к классической логике выс­казываний, уже затрагивались эти вопросы в рамках изучения дедуктивной теории натурального вывода.

В этом разделе будут сформулированы некото­рые вводные положения и замечания, связанные с рассмотрением аксиоматического метода в теории доказательств классической логики предикатов. Ак­сиоматический метод является древнейшим в логи­ческих исследованиях и методологии научного по­знания. Еще два с половиной тысячелетия назад ак­сиоматический метод стал образцом систематизации

172