1. Тоkько демократическое государство может быть правов{м.

Тоталитарное, значит антидемократическое государство.

Нет правового государства с тоталитарн{м режимом.

2. Лишь глупые люди верят в конец света.

Тот, кто верит в гармонию мира, не верит в конец света.

Всегда найдется глупец, который не верит в гармонию мира.

150

_____Глава 5. Классическая логика предикатов

3. Каждого, кто верит в себя, можно считать человеком. Никто, ни один человек не верит политикам.

Все, кто верит политикам, не верят в себя.

4. Лишь идеалистом может быть юрист.

Все мошенники придерживаются материалистических взглядов.

Юрист не может быть мошенником.

5. Нет таких членов парламента, которые не участвовали бы в законотворчестве. Только 12% членов парламента составляют юристы.

Не все, кто создают законы, являются юристами.

6. Этот политик — лжец.

Только болтуны могут быть лжецами.

Этот политик, помимо всего прочего, еще и болтун.

7. Среди юристов имеются профессиональные бизнесмены. Настоящий бизнесмен не боится инфляции.

Некоторые юристы не опасаются инфляvии.

8. Только политики верят в пользу насилия.

Не всякий любитель насилия любит собственных детей.

Некоторые политики не любят своих детей.

9. Тоkько в споре рождается истина.

Никто не станет спорить, кроме глупца или мошенника.

Лишь глупец или мошенник может достичь истины.

151

_______________Логика_______________

10. Ведь никто не будет отрицать, что Аполлон прекрасен. Лишь обладающие женской логикой относятся к прекрасной половине человечества.

Выходит, что Аполлону была свойственна женская логика.

11. Все люди смертны.

Некоторые писатели бессмертны.

Значит, некоторые писатели не люди.

12. Боязливый к прекраснnму полу — боязлив и в жизни. Тот, кто знает логику, не боится женщин.

Трус не разбирается в логике.

13. Среди болтунов нет логиков.

Только болтун может стать политиком.

Этот логик, как и все его коллеги, никогда не станет политиком.

14. Иногда проходимец может оказаться ясновидцем. Если ты ясновидец, то не имеешь права лгать.

Существуют проходимцы, которые обязаны говорить лишь правду.

15. Лишь двоечник по убеждению — лентяй. Ни один студент не любит получать двойки.

Значит, среди студентов нет лентяев.

16. Лишь в правовом государстве реализуются права граждан.

Тоkько демократическое государство может быть правовым.

Права граждан могут быть реализованы лишь в демократическом государстве.

152

Глава 5. Классическая логика предикатов

17. Любой честный человек не любит лжецов. Каждый принципиальный человек честен.

Принципиальные люди не любят лжецов.

5.2. Пусть задан некоторый перевод силлогиз­ма из упражнения 5.1 на язык классичес­кой логики предикатов в форме: А, В=ФС. Объединим посылки силлогистического рас­суждения конъюнкцией, а полученный конъ-юнктор свяжем с заключением импликаци­ей: (Ал В)—» С. Представим результирующую формулу в негативно-нормальной форме. Пример. (См. пример к упр. 5.1)

(Vx(3(x) -> ф(х))а -^Эх(ц(х)л -,э(х))) -> Ух(ц(х) -> ф(х)).

1. -,(ух(-,э(х) v ф(х)) л -ах(ц(х) л -.Э(х))) v Ух(-,ц(х) v ф(х)).

2. -,Vx(-,a(x) v ф(х)) v Зх(ц(х) л -.э(х)) v \'х(-,ц(х) v ф(х)).

3. Зх-,(-,э(х) v ф(х)) v Эх(ц(х) л -.э(х)) v Ух(-,ц(х) v ф(х)) .

4. Зх(э(х) л -.ф(х)) v Эх(ц(х) л -₁э(х)) v Ух(-,ц(х) v ф(х)) .

Обоснуйте шаги эквивалентных преобразований самостоятельно.

5.3. Пусть А — формула КЛП-языка в негатив­но-нормальной форме, определенная по усло­вим упражнения 5.2. Покажите, что -iA<=>B, где В — формула, полученная из А заменой всех кванторов vx на Зх и Зх на V^õ; всех пропозициональных связок л на v и v на л ; всех отрицаний атомарных формул на сами эти формулы и всех атомарных формул на их отрицания.

153

Логика

Пример. (См. пример к упр. 5.2.)

А = Зх(э(х) л ~.ф(х)) v Зх(ц(х) л ~.э(х)) ^v Vx(-Jj(x) v ф(х)).

-А = -,(эх(э(х) л -пф(х)) v Эх(ц(х) л -,э(х)) v Vx(-fl(x) v ф(х))).

-А = -Зх(э(х) л -.ф(х)) л -пЗх(тДх) л -.э(х)) л -,Vx(-,H,(x) v ф(х)).

-А = Ух-,(э(х) л -Л>(х)) л Ух-,(ц(х) л ->э(х)) л Эх-ЈтЦ(х) v ф(х)).

-Л = Ух(-а(х) v ф(х)) л Ух(-,ц(х) л э(х)) л Зх(ц(х) v -,ф(х)).

Определение 5.6. Пусть А — формула КЛР-яз{ка в негативно-нормальной форме, формула В получе­на из формулы А заменой всех встречающихся в ней

кванторов Vx на Зх, кванторов Эх на Vx; всех встречающихся в ней пропозициональных связок а на v и v на л ; всех встречающихся в ней отрица­ний атомарных подформул на сами эти подформулы м всех встречающихся в ней атомарных подформул на их отрицания. Тогда формула В называется контр-дуалом для формулы А в КПП-языке.

5.4. Докажите следующую теорему.

Теорема 5.2. Пусть А — произвольная фор­мула КЛП-языка в негативно-нормальной форме, формула В является контрдуалnм фор­мулы А. Тогда и- -iA <=> В .

5.5. Следующие выводы КЛП переведите на яз{к силлогистики, подобрав подходящие примеры, сформулированные в естественном языке.

1. vx(m(x) -» -iP(x)), dx(s(x)_A m(x)) => Зх-ф(х) -*• р(х)).

2. -ах(м(х) л р(х)), Ух-т(м(^х) л ^S(x)) => 3x(s(x) л -iP(x)).

154

_____Глава 5. Классическая логика предикатов

5.2. Теория моделей классической логики предикатов

Теоретико-модеkьное исследование классической логики предикатов обращено к изучению логичес­ких отношений, связывающих выражения формаль­ного КЛП-яз{ка е описанной в них структурой ре­альности. Иными словами, теория моделей представ­ляет собой раздел теоретической логики, изучающий соотношения между формальным языком и его ин­терпретацими, или моделми. Теорию моделей ло­гики предикатов обычно называют классической те­орией моделей.

Итак, теория моделей является областью теорети­ческой логики» изучающей методы и средства, соот­носяyие выражения языка со структурами реально­сти. Это означает, что каждой паре, состоящей из высказываний языка и модели, ставится в соответ­ствие одно из истинностных значений — истинно или ложно. Вводимое таким образом понятие ис­тинности играет роль моста, связывающего формаль­ный язык с его интерпретацией в реальности посред­ством моделей. Если высказыванию А и модели М сопоставлено истинностное значение «истинно», бу­дем говорить, что высказывание А истинно в модели М, а также, что М является модеkью высказывания А. В противном случае мы говорим, что высказыва­ние А ложно в модели М и что М не является моде­лью для высказывания А.

М является моделью для множества высказыва­ний. ecли M является моделью для каждого из этих высказываний, то есть каждое такое высказывание истинно в модели М. Множество высказываний

155

_____________Логика_______________

формального языка, истинных в модели М, называ­ется описанием ситуации, состояния дел, сложив­шихся в реальности. Такое описание реальной ситу­ации представлено яз{ковыми средствами в «про­екции» интерпретирующей модели М.

Аналитическим фактором, придающим теории моделей характеристику единства, является прово­димое в этой теории различение синтаксиса и семан­тики. Синтаксис имеет дело с чисто формальной структурой языка. Например, понтия подформуль-ности или совокупности входящих в формулу сим­волов являются синтаксическими категориями фор­мализованного языка. Синтаксические характерис­тики КЛП-языка были подробно рассмотрены в разделе 5.1.

Семантика изучает интерпретацию или область значений элементов формаkьного языка. Скажем, ис­тинность или ложность высказываний в модели — вопрос семантический. Таким образом, в теории мо­делей исследуется взаимодействие синтаксического и семантического уровней логического анализа.

Объясненная таким образом теория моделей от­ражает классическую идеологию общей философской концепции истины, восходящей в своих теоретичес­ких источниках к логике и философии Аристотеля. В соответствии с классической концеoцией, быть ис­тинным означает соответствовать действитеkьно­му положению дел в реальнnм мире. Поэтому эту филосnфскую концепцию называют также коррес­пондентской теорией истины.

Применитеkьно к изучаемой здесь теории моде­лей классическая философская концепция исти­ны может быть переформулирована следующим об­разом: «быть истинным высказыванием» означает

156

_____Глава 5. Классическая логика предикатов_____

быть адекватным описанием соответствующей си­туации, сложившейся в реальности и отображенной в ее модели. Содержатеkьно классическое понима­ние истинности является достаточно ясным, однако для испоkьзования в теоретической логике оно дол­жно получить более точную формулировку. Такое уточнение классической концепции истины в терми­нах формальных яз{ков типа КЛП-языка как раз и является областью исследования в теории моделей.

Но прежде, чем перейти к строгим формулиров­кам и дефинициям, определяюyим основные поня­тия теории моделей классической логики предика­тов, обратимся сначала к рассмотрению очеmь про­стого и понятного примера, проясняющего их интуитивный смысл.

Предположим, что анализируемый формальный язык является фрагментом КЛП-яз{ка и его син­таксис включает следующие символы: индивидные константы — а₁, а₂, а₃, которые читаются: «Джон», «Джейн» и «Майкл» соответственно; одноместные предикатные символы — Р*, Р*, читаются соответствен­но: «быть юношей» и «быть девушкой»; двуместные предикатные символы Р², Р : «любить» и «дружить». Таким образом, формальный язык L, анализируемый как фрагмент КЛП-языка, задается упорядоченной последоватеkьностью:

L = <a₁,a₂,a₃,P₁SP₂¹,P₁²,P₂²>.

Понятие модели М для языка L можно задать упорядоченной парой М = (U, Р) , где U — предмет­ный универсум индивидов, а Р — множество преди­катов, то есть свойств или отношений, определенных на предметном универсуме U.

Ясно, что относитеkьно интерпретируемого языка L предметный универсум ограничен тремя индивидами,

157

_____ Логика

соответствующими индивидным константам а_х, а₂, а₃, то есть U = \а_1> а_2> а^ j_{t где} а^ — Джон-индивид, а^ — Джейн-индивид и »з — Майкл-индивид. Записи а и а различаются как термин яз{ка L, выражающий единичное имя, и индивид, принадлежащий предмет­ному универсуму U модели М.

Одноместные предикаты Р*, РЈ интерпретируются на модели М предикатами р и р . По содержател ным интуициям совершенно ясно, что pi ⁼ Неформально говоря, это означает, что свойство «быть юношей» приписывается индивидам Джону и Май­клу, а свойство «быть девушкой» — естественно, Джейн.

С логической точки зрения для каждого двумест­ного предикатного символа языка L, Р² или Р², имеют место ровно U² = З² =9 логически возможных интер­претаций, определенных на модели М. Это означает в нашем случае, что предикат Р^ может быть задан некоторыми упорядоченн{ми парами индивидов из полной последоватеkьности таких пар, определенных на U². То есть

P² и U² =

\^а2> ^а2/> \*_2» *_3 /' \^аЗ> %/» \^аЗ» ^а2/> \^аЗ> ^a

Относитеkьно множества логически возможных ситуаций, предназначенных для интерпретации сим­волов языка L, можно мыслить множество альтер­нативных моделей, определенных на структуре М = (U, p) и представляющих альтернативные состо­яния дел в реальности.

158

_____Глава 5. Классическая логика предикатов____

Примеры. Ml = <U,P), U = Ka^aJ. Р/ = {а^,^}, ^ ₌ (аД

Неформальная интерпретация. Состояние дел, фиксируемое Mi-моделью, представляет собой орди­нарный треугольник неразделенной любви. Джон любит Джейн, но Джейн любит Майкла, который, в свою очередь, никого не любит, кроме себя. Несмотря на эгоизм Майкла и соперничество юношей в «пред­мете вожделения», все же Джон и Майкл дружат друг с другом.

Сказанное вытекает из Mi-истинности следующих высказываний:

1. Джон — юноша.

2. Джейн — девушка.

3. Майкл — юноша.

4. Джон любит Джейн.

5. Джейн любит Майкла.

6. Майкл любит себя.

7. Джон дружит с Майклом.

8. Майкл дружит с Джоном.

9. VxjVx₂ (p| (xj, х₂ ) -» Pg (x₂, Xj)). Для любой пары индивидов: если первый дружит со вторым, значит второй дружит с первым.

10. Vx—iP|(x,x). Никто не может дружить сам с собой.

Ml-истинность формул 9 и 10 не обозначена яв­ным образом в условиях Mi-модели, но имплицит­но содержится в контексте ее содержательной интер­претации. Действитеkьно, если по условиям Ml-моде­ли Джон дружит с Майклом, то с необходимостью

159

_________ ____ Логика ____ ___________

следует, что Майкл дружит с Джонnм. Точно так же интуитивно ясно, что невозможно дружить с самим собой. Для pi эти интуиции могут не выполняrься.

М2 = (U,P), U = КаД р = {ааД р = {aj,

Неформальная интерпретация. Реальная ситуация, фиксируемая в М2-модели, представляет собой такое состояние дел, когда юноши, Джон и Майкл, исклю­чительно эгоистичны и любят лишь самих себя. Джейн, наоборот, любвеобильная альтруистка и гото­ва любить всех, кроме себя. Кроме того, никто ни с кем не желает дружить, поэтому интерпретация пре­диката Р| пуста.

Сказанное следует из М2-истинности следующих высказываний:

1. Джон — юноша.

2. Джейн — девушка.

3. Майкл — юноша.

4. Джон любит себя.

5. Джейн любит Джона.

6. Джейн любит Майкла.

7. Майкл любит себя.

8. VXi-axjjPl^x^Xa). Никто ни с кем не дружит.

Таким образом, для одной и той же модеkьной структуры с одинаковыми универсумами и множе­ствами предикатов можно мыслить альтернативные модели, отличающиеся друг от друга моделируемы­ми реальными состояними дел.

Определение 5.7. М-моделью, предназначенной для интерпретации формального КПП-языка класси-

160