Глава 6

В принципе, как мы уже видели, из физических соображе­ний следует, что должна существовать возможность выбрать z_x = оо, х₂ = 1 и x_N = 0. Действительно, легко понять, что в струнной теории мы должны фиксировать три точки, так как амплитуда в том виде, в котором она выписана, инвариантна относительно преобразований Мёбиуса:

где a_t Ъ, с и d — вещественные числа и ad— be = 1. (Эта ин­вариантность имеет место только в том случае, когда к² = 2, т. е. испускаемые частицы должны находиться на массовой по­верхности.) На операторном языке преобразования (6.15) ге­нерируются операторами L_u L_o и L-\ (которые образуют под­алгебру алгебры Вирасоро).

Инвариантность относительно преобразований Мёбиуса по­зволяет преобразовать три переменные Zi так, чтобы они совпали с тремя фиксированными числами, поэтому интегриро­вание по этим трем переменным является лишним. Чтобы в ам­плитуде не было трех выделенных частиц, мы должны выпол­нить деление на инвариантную меру (меру Хаара). Это дости­гается, если переписать амплитуду в виде

N _d

_{А* =**"-*[ Пт^<°1к^ Zl) ••• V{k"> z">l°>' (бЛ6)}

£ = 1 ^l

_a dz_b

где

dV =

(^za " ^zb) (^zb ~ ^zc) (*_c - ^za) '

dz_a dz

в последнем выражении х_а, гь, z_c— любые три точки из на­бора Zi.

Амплитуда (6.16) в действительности допускает более об­щие преобразования, а именно преобразования (6.15) без тре­бования вещественности параметров а, Ь, с и d. Тогда мы мо­жем деформировать вещественную ось в кривую на комплекс­ной плоскости. Возьмем преобразование в виде

- _iz

V: (6-17)

тогда вещественная ось отобразится в единичную окружность. Если в амплитуду (6.14) подставить меру Хаара, в которой точки z принадлежат единичной окружности, мы получим из­вестную формулу Коба — Нильсена для амплитуды рассеяния N частиц [54]. Из выражения (6.14) легко видеть, что ампли­туда имеет правильную структуру полюсов- Остается доказать,

Операторный формализм 61

что в вычетах взаимодействуют только физические состояния. Чтобы доказать это утверждение, и был развит первоначально операторный формализм. Поэтому вернемся к выражению (6.8). Явные вычисления приводят к формуле

[L_a, V(k,z)} = zⁿ(z^ + n^)V(k_yz). (6.18)

Если оператор преобразуется по такому правилу, то говорят, что он имеет конформный спин k²/2. В частности, мы получаем

V(k,z)\^z-^V{k, 2), (6.19)

что равносильно выражению

V (k_t г) = z^L«V (k, 1) z~^lk (6.20)

Рассмотрим теперь амплитуду (6.16) с фиксированной группой Мёбиуса z\ = оо, z₂ = 1, zn = 0:

(=3

(6.21)

При выводе последнего выражения мы воспользовались равен­ством (6.20), перешли к переменным Чана [55]

y_i = z_i/z_t__l (6.22)

и проинтегрировали по этим переменным. Мы снова явно видим структуру полюсов. Остается доказать, что в вычетах появля­ются только состояния, удовлетворяющие условиям Вирасоро (6.13). Для этой цели воспользуемся соотношениями

[L_n - L_Ot V (k)} = | k²V (k), где V(k) = V{k, 1), (6.23)

J L -«), (6.24)

где первое условие является следствием формулы (6.18), а вто­рое следует из алгебры Вирасоро. Комбинируя их, получаем

{Ln - U + 1) t^y V (k) = _{Lo +} ¹_ft_₁ V (k) (L_n - I* + 1). (6.25)

Следовательно, оператор (L_n — Lq-\- 1) эффективно коммути­рует со всей цепочкой пропагаторов и вершин в амплитуде, по­этому его можно протащить вправо и он будет действовать

62 Глава 6

непосредственно на "вакуум" \0)exp(ik_N-x), а это дает нуль. По­следнее означает, что в вычетах взаимодействуют только физи­ческие состояния, и мы доказали, что амплитуда имеет пра­вильную структуру полюсов. Заметим, что все время неявно предполагалось, что испущенные частицы находятся на массо­вой поверхности. Поэтому рассмотренные амплитуды можно использовать только в качестве элементов S-матриц. Проблема нахождения правильных амплитуд вне массовой поверхности представляет собой очень трудную задачу для дуальных моде­лей. Одно из решений этой задачи будет найдено в полевой тео­рии струн.

Замечательное свойство амплитуды (6.16) состоит в том, что она обладает циклической симметрией по внешним состоя­ниям. Например, если взять последний вершинный оператор, то мы можем, коммутируя его с другими вершинными операторами нужное число раз, поставить его после всех остальных вершин­ных операторов. Явные вычисления дают

V (k_u z_x) V {k₂, z₂) = V (k_2> z₂)V(k_u 2,)ехр[Ыг, • k#(z_x - z₂)\. (6.26)

Отсюда видно, что процесс коммутирования V(kx, zn) со всеми остальными вершинными операторами в конечном счете приводит к появлению фазового множителя. Если учесть закон сохранения импульса (а также условия массовой поверхности), то оказывается, что этот фазовый множитель равен единице. Следовательно, мы получаем

_t z_N)V(k_u z,) ... V(k_N__u г^ ¹⁼¹ ' (6.27)

Правило коммутирования (д.26) математически плохо опре­делено, но правильность выражения (6.27) легко установить на основе формулы (6.14), если считать, что zi в (6.14) лежат на единичной окружности. Математическая строгость достига­ется, если в коммутаторе считать, что импульсы лежат на ре­шетке; такое рассмотрение проведено для случая гетеротиче-ской струны в гл. 5.

Свойство циклической симметрии амплитуды есть не что иное, как свойство дуальности, которое положено в основу ду­альных моделей. Из этого свойства следует, что амплитуда имеет полюсы не только в тех каналах, которые показаны на рис. 6.2, но также и во многих других, а именно во всех кана­лах с импульсами {ki + kt+\ + ••• +&;+п)² — —2М_У где n^.N_r М — целое число и М ^—1. Это значительно уменьшает коли­чество слагаемых, необходимых для получения полной ампли-

Операторный формализм 63

Рнс. 6.3. Факторизованная амплитуда струны.

туды. Чтобы построить полную амплитуду, нужно лишь взять «сумму по всем циклически неэквивалентным перестановкам. Именно это делает операторный формализм столь полезным в теории струн. Амплитуда (6.16) содержит всю информацию о вершинах для других физических состояний. Благодаря свой­ству дуальности амплитуда может быть факторизована, как по­казано на рис. 6.3. Если принять, что (&;-{-&_E-+i)² = —2М, то вычет дает выражение для амплитуды, у которой одна внешняя частица имеет квадрат массы, равный 2М. Выражение для та­кой амплитуды может быть также получено с помощью «воз­бужденного» вершинного оператора. Дальнейшую информацию об этом можно найти в работе [56].

Если мы вернемся к тому, с чего начали, и обратимся к рис. 6.2, то увидим, что до сих пор мы рассматривали только частицы, испущенные из точки а = 0. Действительно, для дре­весных амплитуд этого вполне достаточно, так как имеется свойство дуальности. Но если включить в рассмотрение петле­вые диаграммы, то мы должны допустить, что частицы испус­каются и с другого конца струны из точки о = я. Такие диа­граммы могут оказаться топологически неэквивалентными, по­этому они тоже должны учитываться. В нашем формализме легко построить вершину для испускания частицы из точки (7 = я. По аналогии с выражением (6.8) определим ее как

V(k_{t T}) = ;^(^x)_:==(_l)^(^ Т)(-1)^Я, (6.28)

где N — оператор числа частиц (2.57). Оператор Q = (—1)* называется «оператором твиста».

С помощью таких вершин мы можем, например, рассматри­вать такие диаграммы, как изображенная на рис. 6.4.

Упорядочение переменных интегрирования устроено так, что переменные (времена), соответствующие частицам, испущенным из точки а = О, и частицам, испущенным из точки а = я,

Рис. 6А Диаграмма струны, испускающей с обоих концов частицы.

64 Глава 6

упорядочиваются независимо друг от друга. Другими словами, один конец струны ничего не знает о том, что происходит на другом конце.

Все однопетлевые амплитуды были рассчитаны в операторном формализме. Чтобы их получить, по существу нужно взять сле­ды от древесных амплитуд. Легко видеть, что такой простой процедуры на самом деле оказывается недостаточно. Дело в том, что в этом случае в вычетах появляются нефизические со­стояния. Чтобы устранить этот недостаток, надо вставить в ам­плитуду проектор на физические состояния. Явные вычисления приведены в работе [57]. Более современный метод состоит в использовании духов Фейнмана — Фаддеева — Попова [58]. Непосредственно видно, что это приводит к правильному ре­зультату [59].

При переходе к высшим петлям ситуация значительно усложняется, поскольку соответствующие диаграммы обяза­тельно содержат вершинные операторы, в которых три струны находятся вне массовой поверхности. Но даже в этом случае были получены красивые результаты, основанные на топологии таких диаграмм, хотя и не все тонкости были доказаны. Даль­нейшее обсуждение этих вопросов увлекло бы нас слишком далеко в сторону от основной темы этой главы, поэтому мы от­сылаем читателя к литературе [60].

Операторный формализм для модели Рамона — Неве — Шварца строится совершенно аналогично процедуре в модели Венециано. Вершина излучения тахиона (в случае открытых струн) получается из рассмотрения струны, испускающей час­тицу с одного из концов. Здесь естественно использовать супер­полевую формулировку и рассмотреть вершинный оператор [39]:

V (k, z, 9) = :ехр [ik • <£ (а = 0, г = e^ix, 9 = 9, = — 9₂)]:. (6.29)

При этом нужно выбрать подходящие граничные условия, соот­ветствующие сектору Рамона или Неве — Шварца. Тогда мы можем построить //-точечную амплитуду как корреляционную функцию таких вершинных операторов:

N

An = g^N-* \ -^r- Y[dQ_t(O\V(k_l,z_ue)...V(k_N, z_N, %) | 0). (6.30)

£=1

В случае, если взят рамоновский сектор, вакуум является спинором {с равными нулю массой и импульсом). После инте­грирования по 9, которое в действительности является триви­альным (и дает общий множитель (—)^^/2), а также используя

Операторный формализм 65

уравнения движения для х* и Л*\ получаем следующие верши­ны, соответствующие секторам Неве — Шварца и Рамона:

(z):e»'«W:_f (6.31)

У_я (k, z) = k ■ Г (z) \e^ik'^^zK (6.32)

где

= —oo

(6.33) dlz~ⁿ (6.34)

П

и уц = 7o7i • • • Y9- Отметим, что рамоновская вершина испус­кает скалярную частицу, хотя возможно также испускание псевдоскалярной частицы.

Чтобы убедиться в правильности таких амплитуд, мы долж­ны, как и выше, доказать, что в них распространяются только физические состояния. Это делается точно так же, как в модели Венециано. Проинтегрируем по z в (6.30); тогда для получен­ного выражения можно показать, что L_n, G_r или F_n, действуя на вычеты, дают нуль. Так же, как в предыдущем случае, ком­мутируя вершинные операторы, можно доказать свойство цик­лической симметрии для амплитуды (6.30). Как и прежде, наи­более простой способ доказательства состоит в том, чтобы пе­рейти к амплитуде в форме Коба — Нильсена. Для сектора Неве — Шварца вакуумное среднее в амплитуде (6.30) может быть рассчитано, и результат имеет следующий вид:

П ^dzi ^dQi

_{П & - z/ + Щ)ч'к{'> (6-35>}

в таком виде амплитуда впервые была получена Фэйрли и Мартэном [61]. Отсюда легко вывести свойства дуальности.

Как и в случае модели Венециано, можно определить опе­ратор твиста, рассматривая испускание частиц с другого конца струны, а также построить петлевые амплитуды с внешними та­хионными состояниями. Чтобы удовлетворить условию унитар­ности, необходимо включить проекционный оператор [57]. В бо­лее современном формализме вводятся духи, после чего одно-петлевые амплитуды вычисляются прямым путем. Подробности можно найти в литературе.

Рассмотренные до сих пор вершины описывают процессы,, в которых струна испускает частицы, при этом статистика ее не меняется. Но если распространяющаяся фермионная струна