34 Глава 3

тогда действие (3.24) может быть представлено в виде

^ %Ъ* (3.28)

Преобразования суперсимметрии (3.25) генерируются по­средством

^а = — /ctp^ae, a^a = (т, а), (3.29)

= сИ. (3.30)

В действительности действие (3.28) обладает бесконечномерной симметрией, называемой суперконформной симметрией. Для такой симметрии "суперкалибровочные" преобразования опреде­ляются правилами (3.29) и (3.30) с параметром а^л = а^л{о^а), удовлетворяющим уравнению Дирака.

Поскольку область изменения а имеет фиксированные гра­ницы 0 и я, необходимо ввести граничные условия на 9^Л:

при a = 0

ei + 9² = 0, (3.31)

при a = п

^{е1 =ь е2 = о, (3.32)}

и аналогично для а^л, где верхний знак соответствует сектору Рамона, а нижний — сектору Неве — Шварца.

Условия связи (3.22) и (3.23) могут быть записаны в супер­пространственной формулировке в виде

/р = ₉%д_аф • йф = 0. (3.33)

В рассматриваемой теории суперток (3.33) генерирует супер­конформные преобразования. Следовательно, один из способов построения струнной теории заключается в том, чтобы найти суперконформное действие и потребовать, чтобы суперток был равен нулю.

Решения уравнений движения (3.20) и (3.21), полученных варьированием действия (3.24), имеют следующий вид. Рас­смотрим случай открытых струн. Решение для х& уже приво­дилось выше в (2.25), а соответствующие решения для № по­лучаются из формул (3.3), (3.4) или (3.10) и (3.11) простой заменой &-+№, b^l-^b^. Аналогично можно рассмотреть и слу­чай замкнутых струн. Эти решения позволяют записать связи в следующем виде [39]:

П (т) • Ш (т) = 0, (3.34)

где

П* (т) = / йф* (0, т, 9 = 9, = - 6₂), (3.35)

Спиновые струны 35

Здесь, как и в предыдущей главе, мы расширили интервал значений а до —я ^ а ^ п. Это сделано для того, чтобы усло­вие связи можно было представить как функцию только 0 + т. При этом, накладывая условие связи в момент т = 0, мы мо­жем оставшуюся переменную обозначить т, после чего можно провести отождествление (3.35).

Условие связи (3.34) теперь может быть разложено в ряд

Фурье по т и 6 одновременно. Тогда коэффициенты ряда Фурье в секторе Неве — Шварца (в квантовом случае) определяются в виде

я

_{S МеШ :П - ОП:>}

1 Г

-Я

G_r = — -^ J d% J <№e^trx :П • Ш: (3.38)

-я

и образуют алгебру

L_m] = (n— m)L_n+_m + _Tn(n²— 1)б_я+т(0, (3.39)

(3.40)

{G_r, G_s}^2L_r+s + ~(r²~~)6_r+SjQ. (3.41)

В секторе Рамона имеем

_{\теШ :П •От:+т}

d%

-я

ЗХ

f d9ee'^Bt :П • DU:_t (3.43)

I

2я 3

—я

где мы прибавили к L_o дополнительный член, чтобы сохранить подалгебру Мёбиуса 5/7(1, 1). Полная алгебра имеет вид

, L_m] = (n — m) L_n+m + ₁rn{n²—\) 6_n+m>0, (3.44)

[L_n, F_m) = (-£ - т) F_{n + m}, (3.45)

sp р \ = or А-—(_пъ L\ Л _n /3 46)

Квантование теории осуществляется стандартно путем на­ложения канонических коммутационных соотношений, которые

36 Глава 3

следуют из действия (3.28):

(а, т), р* (</, т)] = - щ^б (а - а'), (3.47)

(а, т), k^Bv (а\ т)} = - nb^A\*^vb (а - о'). (3.48) Условия связи накладываются на состояния в виде

£_я|физ) = 0, я>0, (3.49)

= 0, г>0, (3.50)

₌о, гс>0. (3.51)

Условия массовой поверхности имеют вид

^o — 4")¹ Физ>=0 (NS), (3.52)

(3.53)

В действительности этот метод был использован в одной из попыток построить новые струнные модели [17]. Можно построить расширенную суперконформную симметрию, в кото­рой суперкалибровочные генераторы G_r, F_n преобразуются как векторы по группе SO (N). Таким путем получается бесконеч­ный набор расширений алгебры Вирасоро. Эти алгебры сами по себе довольно интересны. Они включают, например, генера­торы алгебры Вирасоро, суперкалибровочные генераторы, а также генераторы алгебры Каца — Муди. Однако лишь одна из таких алгебр соответствует струнной модели, не содержащей духов, — это SO (2) -расширение [18]. К сожалению, критиче­ская размерность в этом случае равна 2, поэтому трудно найти применение такой модели в физике.