Глава 9

Другие примеры струнных взаимодействий и возможное появление аномалий

Построение взаимодействий включает нахождение нелинейных представлений суперпуанкаре-алгебры с использованием вто­рично квантованных функционалов. В случае открытых струн мы начнем с построения трехструнного взаимодействия. Рас­смотрим естественное взаимодействие, которое возникает, когда концы двух струн соединяются и образуется одна струна. Бу­дем использовать полевой формализм, рассмотренный в гл. 7, и возьмем гамильтониан в виде

Яз = i J D^DZ₂h₃ (о_ь о₂) Тг (д_Ф [2, + 2₂] Ф [2,] Ф [2₂]), (9.1)

где след берется по индексам группы SO(N) или Sp(2N) поля Ф. В момент взаимодействия одна крайняя точка в кон­фигурации Si совпадает с одной из крайних точек в 2г. Пере­менные а мы выберем так, чтобы длина струны была равна лос == 2р⁺п.

Здесь также необходимо использовать всю алгебру, чтобы получить однозначный ответ для гамильтониана, где

'Lp!; (9.2)

« = 0,2,4 ^А1 ^Ап

часть обозначений уже использсвалась в выражении (8.8). (Дальнейшая информация об обозначениях приведена в при­ложении к части I). Кроме того,

для l = L,

(9.3)

С*— Cab = C¹abcd = 0 в остальных случаях.

Как и в случае замкнутых струн, детальное исследование гамильтониана в разложении по модам показывает, что

82 Глава 9

необходимо включить определенные сглаживающие факторы. А именно все операторы 6/б9л и р< нужно умножить на фактор (jtoti — о)^1/2 и взять предел при а-*- яа_{.

Вершины для открытых струн также можно использовать для построения вершин в замкнутых струнах; для этого нужно взять их прямое произведение. Поскольку мы уже видели, что левобегущие и правобегущие моды разделяются во всех гене­раторах, мы можем построить вершину для замкнутых струн путем перемножения двух вершин для открытых струн, одна из которых содержит только левобегущие моды, а другая — только правобегущие. После этого построенную вершину можно переписать также в функциональной форме как произведение левобегущих и правобегущих операторов.

Таким образом, трехструнные взаимодействия мы знаем. Су­ществуют ли взаимодействия с большим числом струн, подобно тому как существуют высшие взаимодействия в теории точеч­ных частиц? Ответ вероятнее всего будет отрицательным. Можно убедиться в том, что четырехструнное взаимодействие,

которого можно было бы ожидать из коммутатора {QJ₃^a, Qb?}*

в действительности равно нулю [68] (за исключением возмож­ного ненулевого члена, соответствующего рассеянию вперед), а также в том, что явные вычисления четырехчастичной ампли­туды с использованием только трехструнных вершин приводят к лоренц-инвариантным выражениям. Следовательно, алгебра оказывается замкнутой с учетом только трехструнных взаимо­действий. Возможность привлечения взаимодействий с большим числом струн до сих пор не исключена, но это весьма малове­роятно.

Оба рассмотренных типа взаимодействий являются локаль­ными. Для получения последовательной теории мы должны по­требовать, чтобы взаимодействие возникало всякий раз, когда концы струн соприкасаются или сближаются две внутренние точки струн. Эти случаи изображены на рис. 9.1 и 9.2.

В случае открытых струн с естественным трехструнным "взаимодействием Янга — Миллса", как в выражении (9.2),, одна струна может свернуться и образовать замкнутую струну. Это приведет к взаимодействию в виде gWQ)™. To же самое ка­сается гравитационного взаимодействия (8.8). В этом случае две открытые струны могут соприкоснуться двумя своими внут­ренними точками, затем обменяться сегментами и рассеяться в две новые струны, порождая взаимодействие %Ф⁴. Отметим, что это взаимодействие отличается от обычного четырехструн­ного взаимодействия, в котором возникают только процессы 13

Другие примеры струнных взаимодействий

83

Рис. 9.1. Две открытые струны касаются концами и образуется новая струна.

_А

Рис. 9.2. Две струны касаются внутренними точками и обмениваются сег­ментами.

Гравитационное взаимодействие приводит к тому, что откры­тая струна может распасться на замкнутую и открытую струны, порождая вершину взаимодействия вида хФФ².

Наконец, в теориях типа I как открытая, так и замкнутая струна может сложиться вдвое, в результате чего образуется но­вая открытая или замкнутая струна. Эти взаимодействия по­рождают вершины вида кФ² и x*F².

Все вторично квантованные действия, соответствующие раз­личным струнам, однозначны [67]. Это можно также доказать и для гетеротической струны [70]. Поэтому допустимых контр­членов к действию не существует, за исключением, может быть, его самого. Если в теории удается доказать, что квантовые по­правки не нарушают суперпуанкаре-инвариантности, то такие теории по крайней мере перенормируемы. Как было показано Манделстамом [71], 5-матрица в суперструнах является кова-риантной, поэтому она должна быть по крайней мере перенор­мируемой. Чтобы решить окончательно вопрос о конечности, по­требуется гораздо лучшее понимание того, как устроены выс­шие петли.

Однопетлевые диаграммы были вычислены в операторном формализме светового конуса [65]. Было найдено, что в супер­струнах типа II такие диаграммы действительно оказываются конечными, тогда как в суперструнах типа I однопетлевой

84 Глава 9

вклад, по-видимому, расходится, но является перенормируемым. Тем не менее детальная проверка показывает, что и в случае суперструн типа I однопетлевые диаграммы также приводят к конечному ответу, если в качестве калибровочной группы взять 50(32) [72]. Для гетеротической струны также была по­казана конечность на однопетлевом уровне,

Суперпуанкаре-инвариантность, о которой мы говорили выше, в теории с взаимодействием проверялась только на клас­сическом уровне. Исследование полной квантовой теории мо­жет только наложить еще большие ограничения на теорию. Так на однопетлевом уровне появляется условие x>~g². Более того, в киральных теориях квантовые поправки могут привести к аномалиям. Замечательно, что для суперструн типа I с кали­бровочной группой 50(32) [28], для суперструн типа Пб [27] и для гетеротической струны не существует аномалий на одно­петлевом уровне, хотя эти теории и содержат киральные фер-мионы.

Отсутствие аномалий в этих теориях само по себе оказалось большим сюрпризом. В десятимерной калибровочной теории с киральными фермионами, например в суперструнах типа I, можно было ожидать, что калибровочный ток имеет аномаль­ную дивергенцию, возникающую из шестиугольных диаграмм, поскольку такие диаграммы могут давать вклад вида

_д.Г„ #> - *»?_г {_A^aF^ ... F^J, (9.4)

где матрицы взяты в том представлении, в котором находятся киральные фермионы, циркулирующие по петле. Грин и Шварц [28] вычислили шестиугольную диаграмму в операторном фор­мализме Района — Неве — Шварца. Они показали, что анома­лия сокращается, если взять калибровочную группу 50(32).

Поскольку аномалии вызываются именно безмассовыми фер­мионами, нужно понять этот результат и на уровне соответ­ствующей теории точечных частиц. Такая теория получается из струнной теории следующим образом. Будем исходить из пол­ной струнной теории поля в случае суперструн типа I. Разло­жим порождающие функционалы Ф и W в бесконечные ряды по полям, которые соответствуют точечным частицам, а затем проинтегрируем по всем массивным суперполям. Тогда мы по­лучим (в принципе) эффективное действие в терминах суперпо-лей ф₀ и i|)o безмассовых мод.

где Si состоит из локальных членов, а 5₂ — из бесконечной по­следовательности нелокальных членов. Снова мы снимаем в

Другие примеры струнных взаимодействий 85

принципе все калибровки и получаем ковариантное действие, построенное из супергравитационного мультиплета, взаимодей­ствующего с мультиплетом Янга — Миллса. Хотя это гипотети­ческие вычисления, отдельные члены эффективного действия можно получить, рассматривая струнные амплитуды с внеш­ними безмассовыми состояниями в разложении по а'.

Тогда можно ожидать, что полученное действие Si в низшем порядке по а/ совпадает с действием минимальной суперграви­тации, взаимодействующей с теорией Янга—Миллса. Однако оказывается, что это не так. А именно появляется новое допол­нительное действие, включающее антисимметричное тензорное поле В^, которое в случае калибровочной группы 50(32) имеет вид

240

-±tr(RAR)Atr(RAR)]. (9.6)

Действие (9.6) построено так, что уже в древесном прибли­жении приводит к аномалиям, которые сокращают все одно-петлевые аномалии, возникающие в минимальной теории. Это замечательный результат, и он показывает, каким образом струнные теории являются внутренне согласованными.

Рассмотренный нами механизм сокращения аномалий в тео­рии поля работает также и в случае калибровочной группы £з X ^8', ^этот факт стал основой для открытия гетеротической струны.

В суперструнах типа I и в гетеротической струне все одно-петлевые диаграммы оказываются конечными. Следовательно, не нужно использовать какую-либо регуляризацию, и аномалии не могут возникнуть.

Мы только что видели, что между конечностью теории и от­сутствием аномалий имеется глубокая связь. Эта связь несом­ненно распространяется и на петли высших порядков; она укреп­ляет нашу веру в то, что фундаментальная теория струн должна быть конечной.