Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ

Многие понятия, которые часто используются в теории струн, появляются уже в более простой бозонной модели. Поэтому мы прежде всего рассмотрим эту модель.

12.1. Принцип действия

12.1.1. Действие Намбу — Гото

Свободная релятивистская частица движется в пространстве-времени так, что ее мировая линия является времениподобной, а также имеет максимальную собственную длину. Соответ­ствующее действие имеет вид

_(12.1.1.1)

где m — масса, a ds — элемент длины вдоль мировой линии. Од­ним из основных свойств действия (12.1.1.1) является его репа-раметризационная инвариантность.

Струна представляет собой одномерный протяженный объ­ект. Поэтому траекторией струны является двумерная поверх­ность в пространстве-времени. Обобщая естественным образом случай релятивистской частицы, мы постулируем, что свобод­ная струна (со свободными концами, если она открытая) опи­сывается поверхностью со следующими свойствами:

1. Поверхность является времениподобной, т. е. всюду на поверхности (за исключением, может быть, граничных точек) можно выбрать два направления: времениподобное и простран- ственноподобное.

2. Поверхность имеет экстремальную площадь, т. е. являет­ ся "экстремальной поверхностью".

Удобно использовать параметрическое описание струны. Это, помимо прочего, позволяет иметь явно ковариантный фор­мализм.

Параметрическое представление мировой поверхности стру­ны имеет вид

^А() = 0, 1 rf—I, а = 0, 1. (12.1.1.2)

Струна Намбу — Гото: классический анализ 99

Мы предполагаем, что х^а = (т, а) задают хорошую параметри­зацию в том смысле, что касательные векторы дХ^А/дх и дХ^А/да всюду отличны от нуля и линейно независимы. Кроме того, мы примем, что вектор дХ^А/дх является времениподобным (или изотропным), а вектор дХ^А/да является пространственноподоб-ным, причем

К (12.1.1.3а)

дХ^л дХ^в

>, (12.1.1.36)

где сигнатура выбрана в виде г\ав — {—, +, +, ... +).

Данное вложение индуцирует метрику на поверхности Х^А (т, 0), заданную явно в виде

а — ^{дХ дХ} ъ„„ П2 1 1 А)

В качестве метрики фонового с/-мерного пространства, в кото­ром осуществляется вложение, мы возьмем плоскую метрику Цав- Не можно искривить; в классической теории это не приве­дет к существенным изменениям. Но в квантовой теории по­явление кривизны приводит к значительным усложнениям; в общем случае произвольного фона такая задача до сих пор полностью не решена. Поэтому мы выбрали плоскую метрику. Некоторые последствия кривизны, которые влияют на определе­ние критической размерности, кратко рассмотрены ниже.

Площадь поверхности, которую заметает струна, определя­ется выражением

'~¹^> (12.1.1.5)

где Wg — детерминант матрицы g_ap, который отрицателен, так как g_a$ имеет сигнатуру (—, +).

Действие свободной струны пропорционально площади (12.1.1.5) и, следовательно, задано в виде¹)

л(откр.струна) 2л (замкн. струна)

\ vTg. (12.1.1.6)

О

Для замкнутых струн выражение (12.1.1.6) нужно дополнить периодическими граничными условиями:

Х^А(т_у 0) = Х^А(т, 2л) (замкнутые струны). (12.1.1.7)

*) Выбор верхней и нижней границ интервала а зависит от соглашения. Мы придерживаемся здесь первоначальных обозначений.

100 Глава 12

(В этом случае интеграл по а фактически можно брать по лю­бому интервалу длины 2я.)

Выражение (12.1.1.6) есть действие Намбу — Гото [1,2]. Постоянная а' имеет размерность квадрата длины в едини­цах %. Поэтому в теории появляется масштаб для массы (а')~^1/2. Когда дуальные модели использовались для описания адронного мира, эта масса выбиралась порядка 1 ГэВ. После коренного перелома в развитии и перспективах, связанного с ра­ботой Шерка и Шварца [3], а' берется порядка массы Планка (~ 10¹⁹ ГэВ), так как считается, что теория струн является еди­ной теорией всех взаимодействий.

Замечание. Действие частицы можно обобщать и дальше на высшие измерения, т. е. можно рассматривать протяженные объекты больших размерностей (например, «мембраны»), для которых действие пропорционально их пространственно-времен­ному объему. О квантовой теории релятивистских мембран из­вестно совсем немного. Неясно даже, является ли она последо­вательной теорией. Поэтому мембраны не вызвали большого интереса (тем не менее см. работу [4], где приведен ряд инте­ресных достижений).

Упражнения

1. Из действия Намбу—Гото выведите явно уравнения дви­жения. Покажите, что они записываются в виде

где □ — ковариантный лапласиан, построенный по индуциро­ванной метрике g_a$, которая задана выражением (12.1.1.4).

2а. Покажите, что проекции уравнений движения на каса­тельные векторы Х^А, _а в действительности являются тождества­ми, Х,_а[]^л = ^ ^{так чт0} независимыми являются только d — 2 уравнений. Это выражение является следствием репараметри-зационной инвариантности действия.

26. Пусть 1*_А), Д = 1, 2, . .., d — 2, — набор d — 2 ортонор-мированных векторов, перпендикулярных мировому листу:

^ё(Д)^Л A, a — ^U> Ь(Д)Ь(Л)^Л — °(Д) (А)'

«Вторая фундаментальная форма &(д)_а^р» поверхности Х^А = = Х^л (х^а) определяется уравнением

, а£<Д), В — "<Д> а ^Л. Э т- Н<_{д) 5₍₂₎

(см. [5], разд. 47). При параллельном переносе вектора нор­мали gj¹ по отношению к rf-мерной фоновой геометрии этот

Струна Намбу — Гото: классический анализ 101

вектор поворачивается. Величина этого поворота параметри­зуется Ц_Д)а^р и ^_Д)^<2> и является мерой искривления двумер­ной поверхности Х^А = Х^А (х^а) в фоновом пространстве.

Если d—2=1, последний член в приведенном выше выра­жении отсутствует. В общем случае м-(Д)⁽²⁾ определяет инфини-тезимальные SO(d—2)-вращения. При замене нормальных

векторов |Д> (которые определены с точностью до 50(rf —2)-

вращения), Й(Д)_а^р преобразуется однородно, как SO (d — 2)-век­тор, а |Д(Д)⁽²⁾ преобразуется неоднородно [5]. Покажите, что

О %^А Y

где символ ";'' обозначает ковариантную производную по мет­рике g_a$. Следовательно, Й(д>ар— симметричный тензор второго ранга при любом значении А.

2в. Средняя кривизна й₍д> определяется по формуле Ц_Д) =

⁼ Цл)ав£^аР* Выведите из этого, что струнные уравнения движе­ния полностью эквивалентны уравнению

т. е. условию нулевой средней кривизны для любого направле­ния вдоль нормалей.

3. Повторите упражнения 1 и 2 для случая искривленной фоновой метрики г\_дв(Х^с). Указание. Добавьте просто символы Кристоффеля Г^лвс в уравнения движения и другие соотноше­ния, чтобы удовлетворялось требование общей ковариантности по отношению к фоновой геометрии. Х^А,_а преобразуется как ^-мерный вектор и 2-мерный ковектор (см. [5], разд. 52).