16.1.2. Инвариантное действие

Чтобы построить инвариантное действие, рассмотрим сначала кинетический член; он квадратичен по производным:

где мы положили

_{£=х:\-/ёУе:ч (16.1.2.2)}

. Форма ш^л инвариантна при трансляциях и преоб­разованиях суперсимметрии и преобразуется как вектор при ло-ренцевых вращениях, так что лагранжиан Lu очевидно, явля­ется SCASy-инвариантным.

В течение некоторого времени лагранжиан (16.1.2.1) счи­тался искомым суперсимметричным лагранжианом. Но он даже не обладает калибровочной свободой, достаточной для того, чтобы быть линеаризованным, и инвариантен только относи­тельно двумерных репараметризаций. Его нелинейности не

242 Глава 16

позволяют строить разумную квантовую теорию. Можно лишь сказать, что он не соответствует свободной суперструне. Это означает, что выражение (16.1.2.1) составляет лишь одну часть полного лагранжиана.

К выражению (16.1.2.1) можно добавить члены, квадратич­ные по 8,^ах, такие как baffixtfv V~£ g^- Но такие члены при­водят к спинорным уравнениям второго порядка и, по-видимому, предполагают существование в спектре состояний с отрицатель­ной нормой. Поэтому их следует отвергнуть.

Остается так называемый член Весса— Зумино [59], кото­рый всегда необходимо рассматривать в сг-моделях. Этот член 5£/5У-инвариантен с точностью до полной дивергенции, следо­вательно, уравнения движения инвариантны. Кроме того, он квадратичен по производным полей и, таким образом, "конку­рирует" с кинетическим членом L\.

Для построения лагранжиана Весса — Зумино L₂ сначала определяют замкнутые три формы Q₃ на фактор-пространстве SUSY(N)/SO(d — \_} 1), инвариантные при преобразованиях SUSY. Эти замкнутые три-формы задаются путем образования внешних произведений инвариантных форм (16.1.1.3):

(й^г Л со^д Л ©\ (16.1.2.3)

где прописные греческие индексы пробегают по всем один-фор­мам (16.1.1.3), а /_ГДЛ — константы.

Три-формы (16.1.2.3) лоренц-инвариантны, если константы f_rAV являются компонентами соответствующей лоренц-инвари-

антной величины. Единственная такая величина') с подхо­дящими индексами это (уАС~¹)_аьа_а&, где С—матрица заря­дового сопряжения, а а_а$ — чисто мнимая симметричная мат­рица²) во внутреннем пространстве. Здесь а и Ъ — спинорные индексы.

Матрица а_а$ может быть диагонализована вращениями во внутреннем пространстве координат 0. Поэтому без потери общ­ности можно считать, что а_а& = 0 при а ф р.

Следующий этап построения заключается в наложении на Qb условия замкнутости: dQ₃ = 0- В явном виде dQ$ задается

ARC

*) Если d=Z, то имеется другой кандидат — форма е_лвссо Лео Л to , которая, однако, не замкнута в суперпространстве. Кроме того, случай f ~ ЧаУъС~~ ^о£ ^может быть устранен переопределением 6^а.

^й) Матрица а_а$ симметрична, поскольку матрица {удС~¹)_аь также сим­метрична н dQ^aa Д dQ$^b = dQ&^b Л dQ^aa

Суперструна 243

выражением

dQ₃ = а_и (tfe¹ Л у^л dW) Л (d& Л у_А d&) +

+ (а_и+ а₂₂) (dW Л Y^A d&) Л (d& Л у_А ^²) + + аналогичные члены с (а, Р) = (2, 2), (3,3), (1,3) и т. д.

(16.1.2.4)

Диагональные члены в этом выражении исчезают вслед­ствие тождества

Ш = 0, (16.1.2.5)

которое выполняется для майорана-вейлевских спиноров при d = Ю и майорановских спиноров при rf = 4 и 3 (а также для вейлевских спиноров при d = 6, для которых применим подоб­ный анализ).

Без тождества (16.1.2.5) член

Л сШ¹) л (d& Л y_Ad&) (16.1.2.6)

не обращается в нуль. Тогда условие dQ^ = 0 потребовало бы а_и=0 (и а₂2=#зз~ ••• ^^О)» ^чт0 уничтожило бы Q₃. По­этому возможность построения нетривиальных действий Вес-са — Зумино существует только для отдельных значений раз­мерности пространства-времени со спинорами определенного вида. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие си­туации, когда выполняется тождество (16.1.2.5).

Если существует только одна суперсимметрия (JV=1), то тождества (16.1.2.5) достаточно, чтобы обеспечить условие dQ$ = 0, и условий на а_ар не возникает. Для N ^=2 смешанные члены в выражении (16.1.2.4) сокращаются только в том слу­чае, если

(16.1.2.7)

Это исключает случаи N 7> 2, для которых это условие при­водит к требованию равенства величин а_ар нулю. Остается единственная возможность Л^ = 2и

га_ар = 0. • (16.1.2.8)

Таким образом, исследование замкнутых инвариантных три-форм приводит к следующим двум случаям;

ЛЛ= 1. Q₃ = iaa>^A Л dby_A Л did, (16.1.2.9)

^А Л d& Л y_Ad& — а>^А Л ^9² Л У_АЩ (16.1.2.10)

вместе с упомянутыми выше определенными значениями размер­ности пространства-времени.

244 Глава 16

Форма Q₃ не только замкнутая, но также точная:

(16.1.2.1 la) где

д-iQg = _ i dX^A Л (frya d® - &y_A dtf) + 9V ^e¹ Л ё²_Ул d№

(16.1.2.116)

для /V —2. (Для N=\ просто опускаем в последнем выраже­нии члены с 8².)

Хотя Из St/SF-инвариантна, два-форма Ог> содержащая не­инвариантные один-формы dX^A, инвариантна лишь с точностью до полной дивергенции (из Ш$ = 0 следует, что 5Йг = d (что-нибудь)). Это и есть член Весса — Зумино. Обратное отображе­ние в (г — а)-пространство дает лагранжиан L₂:

dfiⁱ (16.1.2.12)

(для jV = 2), который 5^У5У-инвариантен с точностью до пол­ной дивергенции.

Поскольку Л^=1-теория может рассматриваться как усече­ние Л^ = 2-теории, мы сосредоточим внимание здесь только на более сложном случае JV = 2.

Заметим, что в десяти пространственно-временных измере­ниях можно выбрать майорана-вейлевские спиноры 9¹ и б² с одинаковой или противоположными киральностями, поскольку в обоих случаях получаем dQ^ = 0.

Обобщение выражения (16.1.2.12) на искривленное супер­пространство обсуждается в работе [60].