16.1.8. Калибровка светового конуса

Гораздо более просто проводится квантование суперструны в ка­либровке светового конуса. Используя координатную свободу, можно перейти к "конформной калибровке"

_{1 -8- О}

В общем случае допустимость конформной калибровки опреде­ляется теми же условиями, что и в чисто бозонном случае. Од­нако в отличие от ситуации в модели бозонной струны выбор конформной калибровки не линеаризует уравнения движения. Для достижения этой цели необходимо фиксировать также ло­кальную фермионную инвариантность.

Основное отличие от модели спиновой струны Неве — Швар­ца— Рамона состоит в том, что этот второй шаг не может быть проделан ковариантно, по крайней мере простым способом. Причину этого эвристически можно понять так. Спинорные па­раметры и^ и к²₊ являются избыточными на связях, т. е. не

все они определяют независимые калибровочные преобразова­ния. Истинное число калибровочных инвариантностей, содержа­щихся в и!_, равно не 16 (т. е. числу независимых компонент

майорана-вейлевского спинора), как может показаться на пер­вый взгляд, а только половине этого числа, а именно 8; если

%[_ =со^у_ле, то соответствующие вариации полей обращаются

в нуль. Это число 8 не соответствует представлению лоренцевой группы 50(9, 1), поэтому трудно найти 8 независимых лоренц-ковариантных условий, фиксирующих фермионную калибровоч­ную симметрию, описываемую и|_.

Ввиду этой трудности вместе с конформной калибровкой (16.1.8.1) наложим лучше на спиноры простые, нековариант-ные условия, а именно

(16.1.8.2)

254 Глава 16

где v⁺=(v°+v⁹); индекс "+" относится к десяти измерениям •). Условия (16.1.8.2) содержат только 8 + 8 независимых урав­нений, как и требуется для вымораживания (8+8)-кратной калибровочной свободы.

Эти условия полностью фиксируют неизбыточную свободу, содержащуюся в и^!_ ss и¹ и к²₊ = и². Действительно, всегда

можно записать²)

^| + + (16Л.8.3)

где у+е = у+ц=0. Чтобы показать это, умножим (16.1.8.3) на

Y+ и получим

(Y⁺Y + YV⁺)'n=YCu⁺₊'n, (16.1.8.4)

где верхний индекс + в со⁺₊ относится к десяти измерениям, а нижний — к двум. Если cd⁺₊ Ф 0, как мы приняли ³), это урав­нение определяет г) и е. Следовательно,

«+₊

— + 2 ⁺ l^AY %\ (16.1.8.5)

что доказывает уравнение (16.1.8.3).

и¹-Калибровочная свобода полностью фиксируется калибро­вочным условием (16.1.8.2) только в том случае, если ^-калиб­ровочные преобразования, оставляющие y+Q^l равным нулю, ха­рактеризуются условием 8 = 0, т. е. на связях они на поля не действуют. Это условие выполнено, поскольку 69* задается вы­ражением

Следовательно, вариация калибровочных условий (16.1.8.2) дает 0 = 6 (y+6¹) = 2iy+®*y_Atf = 2«Y⁺fl>£Ул⁸- (16Л .8.6)

Используя антикоммутационное соотношение для Y~^MaTP^HI* ^и условие 7+8 = 0, получаем отсюда е = 0, как и требовалось. Аналогично доказывается, что условие y⁺9² — 0 фиксирует неизбыточную часть %²-калибровочной свободы.

*) Для сохранения лоренцевой инвариантности можно было бы вместо этого принять условие (o^y_AQ^l = со₊у_Ад²~ 0, где ct>_± — изотропные направ­ления вдоль мировой поверхности струны. Но это приводит к сложным урав­нениям. Кроме того, эта схема не прошла бы для основного состояния (су-перчастипы).

²) Некоторые приемы работы в калибровке светового конуса изложены в приложении В.

³) Случай ©⁺₊=0 есть обычная инфракрасная сингулярность световой калибровки.

Суперструна 255

При выполнении условия (16.1.8.2) уравнения движения для полей существенно упрощаются. Билинейные члены &^ly⁺d_tfi^l_y Фу+ду/Р, ёУд_ц9^т и вУд^Э² обращаются в нуль:

9² = 0, (16.1.8.7а)

^ y~y⁺) y4⁰¹ =

е'у-у+у^б¹ - ev-vW - о, (16.1.8.76)

^ (16.1.8.7b)

так что уравнения для Х⁺ и X¹ становятся обычными уравне­ниями Даламбера в двух измерениях:

□ Г = ПГ = 0. (16.1.8.8)

Одновременно спинорные уравнения 7л^ш+^-^^{1 =} 0 ^и у_Аы^д₊д² = 0 можно заменить уравнениями

<Э^в¹ = О, (16.1.8.9а)

д₊& = 0₉ (16.1.8.96)

как легко видеть после умножения на у+.

Условие гармоничности Х+ (16.1.8.8) можно использовать, чтобы провести конформное преобразование координат, в ко­тором новое время определяется величиной Х+:

Х⁺ —2р⁺а'% (открытая струна), (16.1.8.10)

где р+-—полный пространственно-временной импульс в +-на-правлении.

Это полностью аналогично бозонному случаю, и мы нахо­дим также, что плотность импульса в +-направлении посто­янна:

/+0(_or)₌₌_^L₌₌^t (открытая струна). (16.1.8.11)

дХ₊ я

Условия (16.1.8.10), (16.1.8.11) и (16.1.8.2) определяют ка­либровку светового конуса для открытой суперструны. При их выполнении остаточная калибровочная инвариантность отсут­ствует. Световая калибровка для замкнутой суперструны опре­деляется аналогичными уравнениями с заменой я на 2я в соот­ветствии с нашими соглашениями. В последнем случае условия (16.1.8.10) и (16.1.8.11) также не полностью фиксируют систему координат. Остаточная калибровочная инвариантность заклю­чается в независимых от о трансляциях вдоль а-направления.