13.27. Замечания по поводу удвоения

Одна из главных причин применения БРСТ-методов заключает­ся в преимуществе использования (псевдо)гильбертова про­странства, в котором все переменные, включая духи и чисто калибровочные степени свободы, реализуются на равных осно­ваниях как эрмитовы операторы. Одно из условий согласованно­сти формализма состоит в принадлежности решений уравнения Q|\J))=O этому гильбертову пространству.

Как мы показали, соответствующее гильбертово простран­ство является прямым произведением (бозонного и фермион-ного) фоковского пространства осцилляторов на гильбертово

пространство нулевых мод Хо»рл, tj°, &*о. Скалярное произведе­ние определяется как

$ П⁰)), (13.2.7.1)

где (^>(р,г\°)\^>(руЦ⁰))—внутреннее произведение в простран­стве Фока. (В представлении (р,г\°) состояние |г])> описывается функцией ^(р,ц°) со значениями в фоковском пространстве.)

Для состояний с определенным импульсом (13.2.6.18) инте­грал \ й^шр расходится. Способ разрешения этой проблемы хо­рошо известен: рассматривают просто подходящие волновые пакеты с различными р^А. Но вследствие нулевой связи (Lo — — 1)|Р)=0 (условие массовой поверхности) можно склады­вать только плоские волны с определенной массой. Таким обра­зом, в скалярном произведении состояний, принадлежащих од­ному массовому уровню, при интегрировании по всем массам, содержащимся в уравнении (13.2.7.1), возникает бесконечный множитель 6(0).

Следовательно, нужно что-то сделать, чтобы получить удов­летворительную теорию: уравнение (13.2.7.1) должно иметь смысл для состояний, удовлетворяющих уравнению Q|^>—0. Мы должны также учесть удвоение БРСТ-состояний, обнару­женное в предыдущем разделе. Этот вопрос связан с регуляри­зацией уравнения (13.2.7.1).

178 Глава 13

Существуют различные способы придать смысл уравнению (13.2.7.1), хотя и не схожие внешне, но, по-видимому, эквива­лентные. Ни один из них не является строгим.

13.2.7а. Регуляризация импульсного интеграла

Заменим интеграл \ d²⁶p соответствующим клейн-гордоновским

скалярным произведением, которое отличается от него беско­нечным множителем 6(0) [33]. Это скалярное произведение определено только для состояний, лежащих на массовой поверх­ности. Оператор Q остается эрмитовым, поскольку он не содер­жит координат центра масс Х$.

Тогда можно использовать волновые пакеты с определенной массой (все они имеют конечную норму), и следует рассмот­реть удвоение

I ♦> -1 Pi) 10)_дух + I Р₂) 10)_дух vp + Q | х). (13.2.7.2)

Согласно общепринятой позиции, нужно наложить "правило от­бора", которое ограничивает БРСТ-состояния (13.2.7.2) преде­лами лишь одного "сектора", изоморфного пространству состоя­ний ковариантного подхода ("усечение"). Наложение такого правила отбора согласуется с включением взаимодействий, если только отсутствует переход от одного сектора к другому, что будет в том случае, если взаимодействия можно полностью опи­сать в рамках ковариантного, свободного от духов формализ­ма. При выполнении последнего условия выбор правила отбора является в значительной мере делом соглашения.

Существуют по крайней мере два различных способа усече­ния теории. По-видимому, они эквивалентны (если взаимодей­ствия действительно исчезают в секторе, содержащем нулевую-духовую моду).

1. Как отмечалось выше, пространство нулевой духовой моды обладает состояниями с отрицательной нормой. Поэтому естественно сохранять лишь сектор с положительно нормируе­мыми векторами, как тот, который порождается величиной 1 + Л° [34]. Такие векторы не диагонализуют оператора числа духов (это касается лишь нулевой моды). При таком правиле отбора разрешенными физическими состояниями являются со­стояния

)_дух

Их норма задается выражением

= (Р | Р)_КжЫ_ _Гордон__Фок. (13.2.7.4)

= -щ | Р) 10)_дух (1 + г,») + Q | _%). (13.2.7.3)

Квантование струны Намбу — Гото 179

2. Чтобы диагонализовать оператор числа духов, положим 2) = 0. Изменим также скалярное произведение в простран­стве нулевой духовой моды таким образом, чтобы избежать проблем с нулевой нормой [19]. Этот метод был применен в не­давних работах [35]. Мы лишь отметим, что при изменении скалярного произведения -п⁰, или ^о, или они оба становятся неэрмитовыми операторами в полном пространстве состояний. Это приводит также к неэрмитовости оператора Q и больше не обеспечивает отщепление всех состояний вида Q\%).

13.2.75. С у пер симметричная БРС7^-регуляризация

Обсуждалась [31] необходимость рассмотрения на равных ос-нованиях^чисто калибровочных степеней свободы, ответствен­ных за появление множителя 6(0), и духов, чтобы придать смысл скалярным произведениям типа (13.2.7.1). Калибровоч­ные степени свободы и духи действительно являются "БРСТ-суперсимметричньши партнерами".

Подставим в выражение (13.2.7.1) подходящую регуляризую-щую функцию /_е (р, г\°), такую, что 1) интеграл (13.2.7.1) ста­новится конечным и 2) }_г(р,ц°)-+\ при е->0. С таким множи­телем норма состояния (13.2.7.2), где |Я}> и \Р₂) — нормиро­ванные волновые пакеты с определенной массой, в пределе ■е->-0 задается выражением

(^|ф) = 6(0)[(Я₁|^) + (/^Э2 1Л)] + (Я₁|Я1), (13.2.7.5)

где (Pt\Pj)—внутреннее произведение в пространстве Клей­на— Гордона — Фока. Конечный член {P_{\Pi) в этом выраже­нии сохраняется (грубо говоря) потому, что в выражении (13.2.7.1) он умножается на 6(0) (интеграл по массе) и на 0 (интеграл по к)⁰). Это плохо определенное произведение 5(0)Х0 бозонной и фермионной дельта-функций, будучи регу-ляризованным описанным выше способом, оказывается равным единице.

Чтобы выражение (13.2.7.5) было конечным и нетривиаль­ным, следует положить |Р₂> —0. Это устраняет удвоение. Тех­нически эта регуляризация близка к предыдущей. Исчезающее скалярное произведение, которое мы при этом получаем, яв­ляется лишь одним из сомножителей произведения 6(0)Х0-

Идея здесь состоит в том, что интеграл \ drf не может быть отделен от интеграла по массе.

13.2.7в. Является ли удвоение фиктивным?

Из этого обсуждения следует, что явлению удвоения, по-види­мому, не нужно придавать слишком большого значения.

180 Глава 13

Конечно, было бы хорошо иметь строгую с самого начала фор­мулировку теории, в которой это явление никогда бы не возни­кало. Насколько известно автору, такая формулировка пока отсутствует.

Для подкрепления идеи о фиктивности удвоения в случае открытой струны заметим, что состояние |Р₂) может быть ис­ключено добавлением к |ф) члена вида Й|%)* Действительно,

в Хо -представлении это равносильно решению уравнения

(мы опустили осцилляторную зависимость). Здесь Я₂ (Хо) я %(Хо) — волновые функции состояний |Р) и \%). Поскольку P2(Xq) является решением волнового уравнения (□ —

— пг) Р₂ (Хо) = 0, функция % (%о) расходится на временипо-добной бесконечности, как и ожидалось (резонанс).

По этой причине соответствующее состояние |^> ненорми-руемо даже после регуляризации скалярного произведения. (Соответственно состояние Q|%) не является в действительно­сти нулевым состоянием и не отщепляется. Как мы видели, |Я2>Л° имеет ненулевые скалярные произведения с другими фи­зическими состояниями.) Строго говоря, мы не можем рассмат­ривать состояние \%у. Но наводит на некоторые мысли тот факт, что нет никаких дифференциальных или топологических препят­ствий к тому, чтобы записать |^2>11^{0 как} &\%) (этому препят­ствуют лишь возражения, касающиеся скалярного произведе­ния, которые не имеют под собой серьезной основы).

Согласно настоящему рассмотрению, операторы нулевых

мод Хо, рл, г) и ^о следует считать линейными операторами, действующими в некотором "большем" линейном пространстве без скалярного произведения. Это пространство должно вклю­чать функции от Хо, расходящиеся при Хо-><х>. В таком про­странстве общее решение уравнения Q|i|5>=0 имеет вид |ф) = = |^)|0)дух + Q|x) без члена |Я₂>- Тогда скалярное произведе­ние определяется только для БРСТ-инвариантных состояний как

<<ф|<ф)= (Я |Р) клейн-Гордон-Фок.

Упражнение

а. Исследуйте процедуру БРСТ-квантования для свободной релятивистской частицы. Покажите, что описанные выше про­ блемы появляются уже в этом простом случае.

б. Покажите, что с помощью примененных выше аргументов в случае замкнутой струны можно устранить лишь половину "двойного удвоения".

Квантование струны Намбу — Гото 181