13.3. Квантование в калибровке светового конуса

13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории

В калибровке светового конуса гильбертово пространство кван­товых состояний является действительно гильбертовым, не имею­щим состояний с отрицательной нормой. Калибровка полностью фиксирована до квантования, и все состояния являются физи­ческими (исключая случай замкнутой струны, см. разд. 13.3.3).

Не очевидна и, как выясняется, имеет место лишь при кри­тической размерности пуанкаре-инвариантность квантовой тео­рии ^!).

Генераторы Пуанкаре в калибровке светового конуса нели­нейны, поэтому их алгебра содержит ^-числовую аномалию, ис­чезающую при следующих условиях:

ао=1. (13.3.1.1)

В результате получаются те же условия, что и при других способах квантования. Это свидетельствует в пользу метода ка­либровки светового конуса (световой калибровки), который, хотя и весьма практичен, является все же, по мнению автора, менее фундаментальным, чем другие методы. Неясно, например, что может заменить требование пуанкаре-инвариантности, воз-

^]) Можно использовать явную положительную определенность физиче­ского подпространства вместо явной пуанкаре-инвариантности. Они эквива­лентны при критической размерности, когда можно наложить калибровку светового конуса даже квантовомеханически.

Квантование струны Намбу — Гото 185

никающее в методе световой калибровки, в искривленном про­странстве, не обладающем изометрией. Кроме того, световое ка­либровочное условие есть каноническая калибровка для калиб­ровочной симметрии, отличной от внутренней (репараметриза-ционная инвариантность). Априори не очевидно, что оно может быть наложено квантовомеханически, хотя в случаях бозонной и фермионной струн, как уже было отмечено, это условие все же может быть реализовано.

Классические генераторы Пуанкаре в световой калибровке получены в разд. 12.5.6 (выражения (12.5.6.1) и (12.5.6.2)). Мы определяем соответствующие квантовые операторы, принимая нормальное упорядочение для осцилляторных переменных и симметричное упорядочение для пар (Х,р). Мы также учиты­ваем пока еще не определенную константу a_Q в выражении для Lq.

На этом этапе следует сделать два замечания:

1. Фактически истинной неоднозначности упорядочения в ге­ нераторах Пуанкаре не возникает, исключая член с а₀, если по­ требовать, чтобы эти операторы были эрмитовыми.

2. В выражениях для Р~ и М¹~ нужно использовать то же значение сс₀, чтобы выполнялось условие [Р\ М¹~~\ = ^х 1ч№~-

Легко проверить, что алгебра Пуанкаре реализуется кванто­выми операторами Пуанкаре, за исключением, возможно, ком­мутатора

[М*~, М¹~}^0. (13.3.1.2)

Все остальное находится в нормально упорядоченной форме. Таким образом, ключевой вопрос состоит в следующем: выпол­няется ли соотношение (13.3.1.2)?

Для вычисления [M^l~_t Mi-] можно снова использовать клас­сические расчеты, которые показывают, что коммутатор [M^l-_t Mi~] в классическом пределе равен нулю, и сосредоточить внимание на аномальных членах.

Потенциально опасны следующие члены:

1. Вклад, пропорциональный ос₀, отсутствующий в классиче­ ском случае.

1. Члены, возникающие при нормальном упорядочении

LolXo, Zj_n>Qct*_n Ln + LL_na_n\.

3. Вклады, являющиеся результатом нормального упорядо­ чения коммутаторов кубических членов [#_„/,«, ci-mLm],

\_nL^Xn_y L^xL_m, а_т] и т. д.

Явное вычисление дает для [M^l~, Mi~] выражение

f" £ К^+±w-^-^J) -»²]КЧ - *.Ч)- 03.3.1.3).

л>0

186 Глава 13

Это выражение обращается в нуль только в том случае, если выполнены условия (13.3.1.1), как и утверждалось. Если эти условия не выполнены, квантовая теория не является пуанкаре-инвариантной.