Глава 13

Квантование струны Намбу—Гото

13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение

13.1.1. Введение

Быть может, наиболее впечатляющей чертой моделей кванто­вых струн является предсказание критической размерности про­странства-времени; при другой размерности квантовая теория сталкивается с трудностями. Для бозонной модели эта размер­ность равна 26.

Существуют по крайней мере три способа определения кри­тической размерности. Первый основан на формулировке теории в калибровке светового конуса; оказывается, что вследствие квантовой некоммутативности операторов квантовые генераторы группы Пуанкаре не образуют замкнутой алгебры Пуанкаре при d ф 26 [17]. Второй подход, называемый "ковариантным", не использует калибровочных условий и учитывает все (истин­ные и калибровочные) степени свободы. Можно показать, что состояния с отрицательной нормой исключаются из физического подпространства только при d ^ 26 [38]. Наконец, последний подход, вероятно наиболее глубокий, но также и наименее по­нятный, основывается на симметрии Бекки — Рюэ — Стора — Тютина. Как выяснилось, эта симметрия может быть реализо­вана квантовомеханически только при d = 26 [19].

Все эти методы существенно используют свойство алгебры связей Вирасоро приобретать центральный заряд при квантова­нии (центральное расширение известно как ''алгебра Вирасо­ро"). Нашей первой задачей является, следовательно, вычисле­ние в рамках ковариантного формализма этого центрального заряда, зависящего от размерности пространства-времени.

13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление

Для построения центрального заряда следует уточнить, в каком (псевдо) гильбертовом пространстве и как должны быть опре­делены основные операторы теории. Оказывается, что централь­ное расширение в действительности зависит от выбора конкрет­ного представления основных коммутационных соотношений —

Квантование струны Намбу — Гото 153

обстоятельство, по всей вероятности, не достаточно подробно исследованное в литературе.

Поскольку связи квадратичны, а величина L_o принадлежит к осцилляторному типу, представляется естественным выбрать фоковское представление. Поэтому мы постулируем существова­ние вакуумного состояния |0, 0>, которое обращается в нуль при действии всех операторов уничтожения а* (оператор а°_п вклю­чается для сохранения лоренцевой инвариантности) и обладает нулевым d-импульсом:

_fl£|0,0>=0, Р^л|0, 0> = 0. (13.1.2.1)

Остальные состояния генерируются действием операторов рож­дения а^* и ехр(/&-ЛГ₀). Последний оператор порождает со­стояния с ненулевым импульсом в соответствии с выражениями

exp (ik ■ Х_о) [О, 0) = | 0, k), (13.1.2.2а)

pA\0_t k)=k^A\O, k\ (13.1.2.26)

где собственные состояния импульса нормированы следующим образом:

(0, fc'|0, k) = {2n)^d6W(k — k'). (13.1.2.2b)

Произвольное состояние является суперпозицией состояний |Я,/г>, где к — осцилляторное число заполнения (для каждого осциллятора а£ свое Я), a k — d-импульс.

Эти определения придают конкретный смысл операторам Х^А, р_в, а£_э а%* и их коммутационным соотношениям, которые имеют вид

. Рв]=^г6в. (13.1.2.3)

.₁,- (13.1.2.4)

Временная компонента соотношения (13.1.2.4) имеет вид [а°_т, flO*| = ~l; таким образом, при действии на вакуум нечет-

ного числа операторов рождения а°_п* генерируются состояния

с отрицательной нормой. Это неизбежно, если в рамках нашего фоковского представления требуется явная лоренцева инвари­антность.

Устранение состояний с отрицательной нормой будет пред­метом обсуждения разд. 13.4. Здесь же наша цель состоит в том, чтобы выяснить, каким образом проблема упорядочения влияет на алгебру L_n.

Заметим по этому поводу, что операторы Вирасоро при п =т^= 0 строятся из произведений коммутирующих операторов,

154 Глава 13

следовательно, неоднозначности упорядочения для них не воз­никает:

(13.1.2.5a)

VC (13.1.2.56)

. Мы выбрали нормальное упорядочение для L_n и L_« в выражениях (13.1.2.5), но с таким же успехом могли выбрать и "антинормальное", не меняя L_n или L^_n.

Реальная неоднозначность упорядочения содержится в един­ственной нулевой моде Lo. Поскольку мы приняли фоковское представление, квантовый аналог L_o должен быть хорошо опре­делен в пространстве Фока. Это означает, что он может отли­чаться от своего нормально упорядоченного выражения

^ (13.1.2.6)

П

самое большее на конечную константу ot₀.

Впредь мы резервируем символ L_o для нормально упорядо­ченного выражения (13.1.2.6)

_{E (13.1.2.7)}

П

и при последующих вычислениях будем помнить, что квантовым аналогом классической величины L_o может являться и L_(} — ад

(13.1.2.8)

где величина сс₀ конечна. Отметим, что иная процедура упоря­дочения с бесконечной ос₀ (например, антинормальное упорядо­чение), очевидно, приводит к плохо определенным фоковским операторам.

Упражнение. Охарактеризовать представление коммутацион­ных соотношений (13.1.2.3) и (13.1.2.4) в "другом гильберто­вом пространстве", в котором антинормальное упорядочение имеет смысл. Замечание: в таком представлении операторы а^п_п (aQ рождают состояния с положительной (отрицательной) нормой.

Квантование струны Намбу — Гото 155-