- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
16.3.4. Смысл связей
Среди связей некоторые соответствуют калибровочным инвари-антностям теории, другие же возникают как следствие отсутствия независимого кинетического члена, квадратичного по фер-мионам.
Связи, соответствующие калибровочным инвариантностям, называются связями первого рода и характеризуются свойством слабо коммутировать с, остальными связями. Чтобы отождествить их, вычислим алгебру связей
= 0, (16.3.4.1а)
[Ха, X,J = 2* (Yoflap. (16.3.4.16)
Связь Ж, очевидно, принадлежит первому роду. Она является генератором локальных репараметризаций, сопровождаемых соответствующим преобразованием (16.3.1.8), таким, что 66 = 0. Но поскольку матрица в правой части соотношения
(16.3.4.16) не обращается в нуль, связи % не все принадлежат первому роду. Как следствие условия массовой поверхности ранг матрицы (vop)afl равен 8 (в подпространстве вейлевских спиноров), так что из 16 майорана-вейлевских связей %а = 0 8 принадлежат первому роду и 8 второму.
Связи первого рода могут быть отделены ковариантным, но избыточным способом путем действия р на %:
= рер + *V - ф s pQp. (16.3.4.2)
262 Глава 16
Имеем
[фа, Ж] = 0, (16.3.4.3а)
-0, (16.3.4.36)
а также _
? f = O. (16.3.4.4)
Замена %Р на ^ основана на последнем соотношении, которое делает алгебру связей первого рода абелевой.
Легко проверить, что <j>a (слабо) генерирует фермионную калибровочную симметрию (16.3.1.4) (плюс соответствующая ре-параметризация) :
[6, ^v] = pv, (16.3.4.5а)
f = pQyAv ~ — mpyAv = ieyApv ~ 2iBvpA, (16.3.4.56)
Последний член в правой части соотношения (16.3.4.56) есть генерируемая Ж частная репараметризация, соответствующая
приведенному выше переопределению хр-^-ф.
На данном этапе нашего рассмотрения следует выделить два момента: согласование между калибровочными преобразованиями в лагранжевой и гамильтоновой формах выполняется только на связях, как это в общем случае имеет место для невнутренних калибровочных симметрии; кроме того, не существует независимых гамильтоновых связей первого рода, ассоциированных с "фальшивой" калибровочной инвариантностью (16.3.1.8). Фактически одно из преимуществ гамильтонова формализма состоит в том, что лишь "истинные'* калибровочные инвариантности приводят к связям первого рода, а это позволяет выделить и пересчитать их непосредственно.
Хотя содержащиеся в соотношении % ^ О связи первого рода и выделены ковариантно, ценой за поддержание явной ковариантности является избыточность связей <j>. Действительно, мы находим следующее сильное соотношение между <j> и Ж:
фр-2рвЖ = 0. (16.3.4.6)
Оно отражает избыточность калибровочных параметров преобразований (16.3.1.4) и приводит к усложнениям БРСТ-процеду-ры. Заметим, что простого ковариантного способа выделить (8+1) независимых связей из (16+1) избыточных связей первого рода </>, Ж, по-видимому, не существует.
Аналогично не существует простого ковариантного способа отождествить 8 связей второго рода, содержащихся в %. Ниже будет показано, что связи второго рода играют важную роль
Суперструна 263
в обеспечении корректных антикоммутационных соотношений для спиноров, так что не учитывать их нельзя. Необходимо их сохранить, поэтому приходится столкнуться с только что упомянутой проблемой явной ковариантности.