15.5.2. Замкнутая струна

Глиоцци и др. [50] показали также равенство как масс, так и чисел состояний для бозонного спектра замкнутой струны, при­веденного в разд, 15.3.3 (усеченного условием G_p=l), и фер-мионного спектра замкнутой струны, приведенного в разд. 15.4.3 (усеченного вейлевским условием).

Основное состояние этой комбинированной замкнутой мо­дели Неве — Шварца — Рамона содержит 64 фермионных и 64 бозонных состояния. Соответствующие частицы могут быть описаны следующими десятимерными локальными полями: <f>_t Вав = —В_ВАу gAB~gBA (бозонные поля) и %, ^_А (майорана-вей-левские поля спина 1/2 и 3/2). Это калибровочный мультиплег N = 1, d = 10-супергравитации.

Глава 16

Суперструна

16.1. Ковариантное действие

Десятимерная суперсимметрия спектра Неве — Шварца — Ра-мона весьма неожиданна и неясна в рамках развиваемого до сих пор формализма. Грин и Шварц открыли новое действие, инвариантное относительно десятимерной глобальной суперсим­метрии, генераторы суперсимметрии для которого могут быть построены как нётеровские заряды. При квантовании это дей­ствие порождает суперсимметричную часть спектра Неве — Шварца — Рамона без нежелательного тахиона. Это и есть су­перструна.

Действие для суперструны впервые было открыто в световой калибровке [44,45]. Его ковариантная форма была найдена позднее [56].

Следуя недавней работе [57], мы выведем ковариантное дей­ствие суперструны как действие а-модели с членом Весса — Зумино.

16.1.1. SUSY(N)/SO(d — 1, 1) как пространство объектов

а-Модели наследуют свои внутренние симметрии из простран­ства объектов. Например, струна Намбу — Гото глобально пу-анкаре-инвариантна, поскольку пространством объектов в этом случае является обычное пространство Минковского.

Для построения а-модели, инвариантной относительно гра­дуированного расширения группы Пуанкаре, необходимо иметь пространство объектов, на котором действует эта супергруппа. Подходящим пространством оказывается фактор-пространство SUSY супергруппы с N суперсимметриями по лоренцевой под­группе SO(d—1,1). Это многообразие изоморфно подгруппе S&5y(iV), получаемой выбором только трансляций и N преоб­разований суперсимметрии.

На этом этапе мы оставляем N и d произвольными. Ограни­чения на эти параметры скоро появятся уже на классическом уровне.

Супермногообразие SUSY(N)/SO(d—1,1) можно парамет­ризовать d коммутирующими координатами Х^А (Л = 0, ...

240 Глава 16

..._td—1) и N антикоммутирующими спинорами 8^а (а = = 1,2, ..., N), которые для простоты мы считаем удовлетво­ряющими майорановскому условию. Координаты Х^А являются координатами пространства Минковского.

Действие SUSY(N) супергруппы на супермногообразии SUSY(N)/SO(d—1, 1) задается выражениями

^А₉ 6^а^е^а (16.1.1.1)

(трансляции) и

X -+Х +г 2j ^s Y о » о ->9 +8 (16.1.1.2)

а=1

(суперсимметрии), где е^а— iV произвольных вещественных спи-норных параметров, а у^л— у-матрицы в d измерениях (наши обозначения приведены в приложении Б). Кроме того, перемен­ные Х^А и 9^а при лоренцевых вращениях преобразуются как век­тор и спиноры соответственно.

Для преобразований (16.1.3.1) и (16.1.1.2) легко построить инвариантные формы. Они имеют вид

а>^Л = dX^A — /eV d$^a, (16.1.1 .За)

d&^a. (16.1.1.36)

Ниже мы всегда будем подразумевать суммирование по супер­симметричным индексам в выражениях типа (16.1.1.3а).

Явное вычисление вариации бсо^л показывает, что со^л действи­тельно инвариантна относительно суперсимметрий:

= б (dx^A) - /

= dbX^A — i бё^ау^л db^a - id^ay^Ad 69^a = (используем условие [б, d] = 0)

= i& у dd —1& у dd =0

(поскольку de = 0). Аналогично 6d9^a = cf69^a = 0. Легко прове­рить также инвариантность db^a и со^л при трансляциях.

Далее нам понадобятся некоторые свойства дифференциаль­ных форм на супермногообразиях, которые мы кратко здесь изложим.

Дифференциальный оператор d удовлетворяет соотношениям^ очень похожим на аналогичные соотношения для оператора внешней производной на обычном многообразии. Важную роль играет свойство

dy Adz = (—)V*+ ' dz Ady, (16.1Л .4)

Суперструна 241

где 8_У и &_z — грассмановы четности у и z соответственно (e_i/=0₎ если у четно, е_у = 1, если у нечетно). Если у и г оба антиком-мутируют, свойство (16.1.1.4) принимает вид

Имеем также

dyz = {-)^e&zdy, (16.1 Л.5)

A v) = dcoA v + (—)^fet°to A dv, (16.1.1.6)

где &_w — степень 0 как формы. Из этих правил следует, что оператор d нильпотентен:

= 0. (16.1.1.7)

Наконец, отображение двумерного пространства X^х = (т, <т) = 0, 1) в супермногообразие SUSY(N)/SO(d—1,1) опреде­ляется заданием Х^А и Э^а как функций от х^%:

Х^А = Х^л(х, а), е^а = 9^а(т, а). (16.1.1.8)

Обратное отображение (pullback) SUSY(N)/SO(d-~ I, 3) диф­ференциальных форм на двумерное пространство-время (х^к)

возникает при замене dX^A на X^A\dx^k и db^a на 8%dx^x. Обрат­ное отображение коммутирует с d. Подробнее о дифференциаль­ных формах на супермногообразиях см. книгу Весса и Беггера [58].