13.2.3. Фоковское пространство духов

Переходим к квантовой теории. Духи ч\_т и {Р_т становятся опе­раторами и вследствие (13.2.2.7) удовлетворяют соотношениям

fo«, ^У = б_м, _„ (13.2.3.1)

(где символ [, ] обозначает теперь антикоммутатор в соответ­ствии с правилом: скобки Пуассона фермиевских переменных-^ антикоммутатор) и

п; = П-_я. К = *-п- (13.2.3.2)

Из соотношений (13.2.3.1) и (13.2.3.2) видно, что нулевые моды iio и ^о отличаются от других мод, поскольку они веще-

ственны и удовлетворяют условию

ho, ^о1=1. (13.2.3.3)

Пространство неприводимого представления для соотношения (13.2.3.3) хорошо известно [33]. Оно двумерно и изоморфно пространству функций от одной грассмановой переменной т]⁰¹):

/ = а + Ьт1°, (13.2.3.4а)

rf — умножение на т]⁰, (13.2.3.46)

(13.2.3.4b) (13.2.3.4г)

Состояния fi = 1 и f2 = т]° имеют нулевую норму и скалярное произведение, равное 4-1. С другой стороны, можно рассмот­реть состояния (1 ± n°)/V2 » которые ортогональны друг другу и имеют норму ±1.

Пространство духовых состояний является прямым произве­дением пространства (13.2.3.4) на фоковское пространство выс­ших мод ц_т и <?_т, построенное следующим образом. Опреде­ляются операторы

( + ?) f=^ К.+ *"„), (13.2.3.5)

, удовлетворяющие условию

[L.r_m]^-[g_m.g'_m] = l (13.2.3.6)

(другие антикоммутаторы равны нулю).

¹) Чтобы ВЫПОЛНЯЛИСЬ равенства 0 = TJ°T)m + t\mf)° = *)°&т +

... = ^%⁵^ + ^_п^^>0, операторы (13.2.3.46) и (13.2.3.4в) в действительно­сти следует умножить на (—1) ^F, где N_F— число духовых фермнонов, но этот множитель здесь опускается.

170 Глава 13

Вакуум духов аннигилируется операторами уничтожения f_m

f> j0>=0 (13.2.3.7)

и нормируется на единицу: <0|0>= I. Операторы рождения f_m являются операторами обычного типа, а операторы g_m рождают состояния с отрицательной нормой (предполагается существо­вание таких состояний в пространстве духов).

Последующие вычисления будут проводиться так, чтобы быть на каждом этапе осмысленными в рамках определенного выше фоковского пространства. Это будет достигаться путем использования нормальной формы операторов. Заметим, что это равносильно записи всех операторов т\_т и <?*_т слева от г\_т

и 0>_т, поскольку х\_т и 0^_т содержат только операторы рожде­ния, в то время как \\_т и 0>_т выражаются только через опера­торы уничтожения. Для операторов же г)₀ и <Р₀ будет принято' антисимметричное упорядочение.

Упражнение. Что является пространством нулевых мод для замкнутой струны?

13.2.4. Нильпотентность квантового БРСТ-оператора Квантовый вариант БРСТ-генератора (13.2.2.6) имеет вид

^ = Z (£„ - «<Л, оК - 2 Z_n

п- I

_S,

tn=l

п- I l

S (L_n- а_об„, ₀) _л; - 2 E

n~ — oo ^ч ' n>0

m=I

_{- Z Z [(2n - m) (P'Sn-пЛ}

n>0 mI

Квантование струны Намбу — Гото 171

Неоднозначность упорядочения возникает только для членов (отсюда появление ао в первом слагаемом выражения для Q) и т]о. Но неоднозначность для второго члена может быть пере­несена на величину ао и не дает ничего нового.

Первое условие на Q, а именно эрмитовость, очевидно, сле­дует из выражения (13.2.4.1). Остается проверить нильпотент­ность.

Нильпотентность БРСТ-генератора нарушается по двум причинам. Во-первых, благодаря центральному заряду опера­торы L_n больше не образуют истинной алгебры. Во-вторых, духи тоже вносят аномальные члены. Действительно, антиком­мутатор [^1%%, \^_e^f] не имеет нормального вида¹). При приведении его к нормальному виду возникает слагаемое, от­сутствующее в классическом пределе:

^ну- (13.2.4.2)

Уравнение (13.2.4.2) после некоторых вычислений позволяет представить условие Q² = 0 в виде

_{Q2=т £ Ь3 (4 - -т) +«К - т+т)] чх- (13-2-4-3)}

п >0

где аномальный вклад духов не зависит от размерности про­странства-времени и может быть получен из выражения (13.2.4.3), если положить <i = a_o = O. Центральный заряд ал­гебры Вирасоро генерирует член, пропорциональный d, и суще­ствует еще, разумеется, вклад от а₀. Требование нильпотентности Q дает

d = 26, Оо=1. (13.2.4.4)

Калибровочная инвариантность реализуется квантовомеханиче-ски только при критической размерности d = 26. При d¥=26 эта существенная особенность теряется. (Значение второго условия а₀ = 1 обсуждается ниже. К сожалению, оно предпола­гает наличие тахиона в спектре.)

Упражнения

1. Выведите выражение (13.2.4.3).

1. Какой была бы величина Q², если использовать "антифо- ковское" представление для духов, основанное на вакууме,

') Легко видеть, что аномальные духовые члены возникают только, из этого антикоммутатора (где г\, 0> обозначают и нулевые моды). Если нуле­вые моды подставить в уравнение (13.2.4.2), то символ НУ в этом случае • будет обозначать антисимметричное упорядочение (и появится множитель 1/2 в аномальном члене).

172 Глава 13

уничтожаемом операторами f*_m и g*^ Является ли это альтер­нативное представление априори столь же естественным, как го, которое использовано выше? Обсудите этот вопрос.

3. Введите снова в теорию неконформно-инвариантные сте­ пени свободы g_n, их импульсы и импульсы, сопряженные функ­ циям N и N¹. Запишите соответствующий БРСТ-генератор. До­ кажите, что новая часть в выражении для Q не дает вклада в аномалию.

4. Выведите критическую размерность для замкнутой стру­ ны (с? = 26!). Что такое а₀? (Для любого Lq а₀ = 1; в альтер­ нативных случаях ао [Lo + Lo) = 2, ао [Lo — L⁰ = 0.)