15.2.4. Структура физического подпространства

БРСТ-оператор можно снова разложить по величинам ц° и ЗРо; это дает

п = (а'р² + L - а₀) ri° - M$>_Q + Q, (15.2.4.1)

где L, М и Q не зависят от г|° и ^₀> поэтому мы не будем их здесь выписывать. Те же аргументы, что и в случае Неве — Шварца, позволяют устранить из физических состояний часть с т]°, поэтому мы полагаем |6>=0 в выражении |г|)>=|а>+ -}-\Ь}ц°. Для таких состояний условие массовой поверхности, ра­зумеется, должно выполняться^

Можно далее расщепить Q, выделив явно зависимость от коммутирующих нулевых духовых мод:

Q = Fqo + Gjt₀ + Q, (15.2.4.2)

где операторы F, G и Q не зависят от всех нулевых духовых мод. Их вид легко может быть найден из выражения (15.2.2.1). В соответствии с операторным разложением (15.2.4.2) состоя­ния могут быть представлены в виде

\а)= S К><#. (15.2.4.3)

>0

п

Мы считаем всюду, что в выражении (15.2.4.3) содержится лишь конечное число членов (формы конечной степени). Это предположение и уравнение Q|a>~0 приводят к условию, ко­торому должен удовлетворять коэффициент наивысшей степени

\a_N):

F]a_N) = 0. (15.2.4.4)

Но отсюда следует, что |аЛ== F\a'_N__l} для некоторого |а^_м). Поэтому из выражения (15.2.4.3) можно исключить наивысшую степень \a_N}, а затем последовательно все степени n^.N, кроме нулевой. После того как это сделано, мы получаем физическое состояние |а>, не содержащее ни т]°, ни q°. Для такого состоя­ния БРСТ-условие Q|a_o>=0 принимает вид

(а>² + L — ао) | а_о> = 0, (15.2.4.5а)

= O, (15.2.4.56)

= 0. (15.2.4.5b)

Оператор Q нильпотентен на подпространстве (15.2.4.5а) и (15.2.4.56) и, как отмечалось ранее, не зависит от всех духовых мод. Кроме того, можно показать, что он является "возмуще­нием" (в смысле Като и Огавы) линейного нильпотентного опе­ратора, к которому непосредственно применим квартетный ме-

Фермионная струна: квантовый анализ 229

ханизм Куго и Одзимы. Поэтому из | а_о> можно исключить все остальные духи [53].

Мы не будем здесь вдаваться в детали этого вопроса. Мы также опускаем проблему регуляризации скалярного произведе­ния, которое содержит еще одно плохо определенное произве­дение 6(0)-0, возникающее из расходящегося интеграла по

нулевой моде \dq° и равного нулю скалярного произведения, ас­социированного с нулевыми модами Г£. Дальнейшую информа­цию по этому вопросу читатель может найти в работе [53].

Беглый анализ этого раздела можно суммировать в следую­щей теореме.

Теорема. Любое физическое состояние |\j)>, удовлетворяющее условию Q|i|}>= 0, может быть представлено в виде

1*> = |Я>|0>_дух + О|х>, (15.2.4.6)

где |Р>—физическое состояние ковариантного подхода, удов­летворяющее соотношениям

(15.2.4.7а) (15.2.4.76)

Доказательство [53]. Разумеется, эта теорема не утверж­дает, что состояние [%> нормируемо.

Замечания. 1) Если ограничить \%) асимптотическими усло­виями, то возникает удвоение, ассоциированное с антикоммути-рующей нулевой духовой модой. Благодаря коммутирующему духу q° можно получить также дополнительное умножение, если наложить условия при q°-+±oo. 2) Духовое число для состоя­ний (15.2.4.6) (с |^> = 0) равно ную.

Упражнение. Покажите, что любое решение уравнения (15.2.4.4) F\aN)~0 может быть представлено в виде |a#) = = F I a^r \

У казания. Как обычно, импульс и массу можно считать с-числами. Вычислите [F(p), F(k)]_y где k^A — произвольный d-вектор. Подберите k^A так, чтобы выполнялось условие [F(p), F(k)\ |^>1^>- Заключите отсюда, что если F(p)|it>>=0, _то

где F(p) =

_{» где—140=^) к>- Здесь}

230 Глава 15