144 Глава 12

задают регулярную параметризацию струны¹). Следовательно 0j = Э₂ и /+(8) — обратимая функция.

В дополнение к этому формула (12.5.3.11) позволяет видеть, что пересечения струнной траектории с гиперплоскостью Х+ = = const являются пространственноподобными или изотропными, следовательно, Х+ — временная координата. Поэтому мы заклю­чаем, что в случае р+ Ф О калибровка светового конуса являет­ся хорошей калибровкой для поверхностей, удовлетворяющих уравнениям движения струны, с тривиальной причинной струк­турой.

Может возникнуть вопрос, нужно ли беспокоиться о рас­смотренных выше трудностях, которые возникают при р+ —0. Так как это имеет отношение только к точечноподобному дви­жению струны в основном состоянии, некоторые пояснения мо­гут быть получены из рассмотрения свободной безмассовой ре­лятивистской частицы в калибровке светового конуса. Легко видеть, что в квантовой теории не возникает серьезных трудно­стей. По-видимому, это указывает на то, что трудности с р+ = 0 не должны нас беспокоить. С другой стороны, это согласуется с тем фактом, что квантование струны в калибровке светового конуса дает результаты, совпадающие с аналогичными резуль­татами, полученными другими методами, которые не требуют фиксации калибровки.

Упражнения

1а. Опишите классическое основное состояние струны в ос-цилляторных переменных.

б. Рассмотрите состояния первого возбужденного уровня и покажите, используя классические условия Вирасоро, что р²^0. Может ли быть р² — 0? Что можно сказать о "чисто калибро­вочной" природе этих мод?

2. Используя соотношение (12.5.3.7а), покажите, что время Минковского, необходимое для того, чтобы световой луч, вы­ шедший из одного конца струны, достиг другого конца и вер­ нулся обратно, не зависит от времени.

3. Параметризация 9, используемая в соотношениях (12.5.3.7) не является единственной. Покажите, что можно наложить условие f'^A{Q)p_A = pA_pA.

4. Рассмотрите свободную безмассовую релятивистскую час­ тицу.

а. Напишите редуцированное действие в калибровке

ⁱ) Точки ^(9, 6'), 01 ^ 0, 0'^ 0₂ в действительности все лежат на одной изотропной кривой.

Струна Намбу — Гото: классический анализ 145

б. Покажите, что в качестве независимых степеней свободы можно взять Х\ р^ и~ = Х~—р~%/т и р⁺, Покажите, что эти переменные являются канонически сопряженными.

в. Выведите гамильтониан в калибровке светового конуса.

г. Решите уравнение Шредингера. Докажите, что суще­ ствуют такие состояния, которые движутся обратно во времени Минковского (т. е. для которых /?°<СО). Существуют ли такие состояния в более привычной калибровке т = Х°?

д. Выпишите генераторы алгебры Пуанкаре. Проведите для них упорядочение, чтобы они стали формально самосопряжен­ ными. Покажите, что даже на квантовом уровне они образуют замкнутую алгебру.

12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы

Применим теперь технику канонической фиксации калибровки в гамильтоновых системах со связями [13]. На первом этапе выделим независимые степени свободы, в терминах которых можно выразить "зависимые" переменные путем разрешения условий связи. С самого начала мы будем использовать осцил­лятор ные координаты а^.

Калибровочные условия (12.5.2.9) и (12.5.2.10) эквивалент­ны следующим условиям ³):

р+т, (12.5.4.1)

которые показывают, что а+ и Х+ являются зависимыми пере­менными. Если соотношения (12.5.4.1) окончательно фиксируют калибровку (а мы знаем, что это так, поскольку функции хода N и сдвига iV¹ полностью определяютс51 этими соотноше­ниями), то должна существовать возможность разрешить усло­вия Вирасоро L_n = 0 и найти, таким образом, сопряженные пе­ременные а~ и р~.

В самом деле, из условия (12.4.1.8) находим

On =Ип/л/2^пр⁺ (/г>0), (12.5.4.2)

(12.5,4.3) где Lj^r, Ll£ определяются теми же выражениями (12.4.1.8), что

и Lq, L_n, но суммирование производится только по поперечным индексам. Основное достоинство калибровки светового конуса состоит в том, что условия Вирасоро являются линейными по

*) Как уже говорилось, здесь и ниже мы рассматриваем открытую струну.

146 Глава 12

а~ и р~, поэтому в этой калибровке их можно легко разре­шить, как это видно из соотношений (12.5.4.2) и (12.5.4.3).

Переменные р⁺, Xq , р , Хо и а_п являются совершенно про­извольными и выбираются в качестве независимых переменных. Они соответствуют реальным степеням свободы струны (d—2 поперечных осцилляторных переменных, а также координаты и импульс центра масс).

Следующий этап состоит в вычислении скобок Дирака не­зависимых переменных, (Скобки Дирака для остальных "зави­симых" переменных непосредственно следуют из выражений для этих переменных в терминах независимых переменных, так как связи и калибровочные условия имеют нулевые скобки Ди­рака с чем бы то ни было в силу определения скобок Дирака. Поэтому связи и калибровочные условия могут накладываться до вычисления скобок.) С этой целью перепишем калибровоч­ные условия и связи (12.5.4.1) — (12.5.4.3) в виде

Матрица С скобок Пуассона для системы (12.5.4.4) ле^ко вычисляется: калибровочные условия % имеют нулевые скобки сами с собой, то же относится и к связям первого класса ф. Единственные ненулевые скобки имеют вид [х„, ф__пг] = i&_{n п}* и [х, ^] = 1, поэтому формально матрица С записывается в виде X Ф

_°'V

₎

Обратная матрица имеет такой же вид, поэтому скобки Ди­рака определяются соотношением [13]

[F, O\_D = IF, G]_P + "[F, ф)_Р[х, O]p-[F, %}_Р[ф, G]_P". (12.5.4.5)

Интересно, что из определения (12.5,4.5) следует, что [F, D]_D = [F, G]p всякий раз, когда F и G коммутируют с ка­либровочными условиями х (^т- ^е- [Л %п] = [С, %_п] = [F< х] = ~[Gj х1⁼⁼^)- Ясно, что этим условиям удовлетворяют перемен­ные /?⁺, р¹, Х¹₀ « а¹_п. Поэтому для этих переменных скобки

Дирака и Пуассона совпадают.

Единственное исключение составляет переменная Хо₉ так как [Xq, xJ = 2a't Ф 0. Это наводит на мысль заменить Х$ переменной и$:

T*. (12.5.4.6)

Струна Намбу — Гото: классический анализ 147

которая обладает свойством [«₀~, х]~К' ^] ⁼ 0. Если ис­пользовать и~ в качестве новой независимой переменной, то по­лучаем каноническую форму для скобок Дирака

1 Uq , р ! _ ⁼ 1, 1-^0' Р

(все остальные скобки Дирака равны нулю). Ниже мы будем опускать индекс D в скобках Дирака.

Упражнение. Разрешите связи в непрерывном представлении

М—Ж\ — 0. Покажите, что Xq возникает как постоянная ин­тегрирования в общем решении Х~ (а) уравнения ^]=0.