52 Глава 5

четное, то Г тоже четное, поэтому (р¹)² принимает четные це­лые значения.

Дальнейшие ограничения возникают при исследовании взаи­модействий. Двумерная (евклидова) мировая поверхность, кото­рая соответствует однопетлевой амплитуде в теории замкнутых струн, является тором. Этот тор должен быть симметричным относительно перестановки ст и т, так как репараметризацион-ная инвариантность по-прежнему существует в теории (свой­ство дуальности). Чтобы такая симметрия имела место, ре­шетка должна быть самодуальной, Г —Г.

Четных самодуальных решеток насчитывается совсем не­много. Фактически они существуют только в 8п измерениях, В основополагающей работе Годдарда и Олива [49] было по­казано, что в 16 измерениях существуют только две такие решетки FsXTe и Г^, которые, как они предположили, должны иметь важное значение в физике. Решетка Г₈ является корне­вой для Е%. Построение решетки Fi₆ более сложно. Базисные векторы для SO (32) -корневой решетки могут быть выписаны в терминах набора ортогональных векторов {«,}, /=1, ..., 16, посредством равенств ei — т — щ+\, i = 1, ..., 15, и е\§ = = и is + u\q. Такая корневая решетка не является самодуаль­ной. Но самодуальная решетка может быть получена из корне­вой решетки путем добавления точек, которые являются муль-типлетами одного из спинорных весов для Spin (32). Мы мо­жем выбрать спинорный вес в виде s_{ = 1/2 (и_х — и₂ + и₃ — и₄ + + ... +и₁₅ — и₁₆), sj = 4, а в качестве базисных векторов для

решетки Г\б взять 5] и ei, I = 2, ..., 16. Так как е\ — линейная комбинация базисных векторов, решетка Fi₆ содержит все точки корневой решетки для SO (32), а также дополнительные точки, соответствующие спинорным весам группы Spin (32) /Z₂. Последнее не является тем же самым, что и SO (32). Центр группы Spin (32) — это Z2XZ2. Устранение диагональной ком­бинации, состоящей из двух множителей Z2, приводит к исчез­новению всех спинорных представлений, и мы получаем SO (32). Если же устранить один множитель Z2, то исчезнет одно из двух спинорных представлений группы Spin (32), а также все представления, находящиеся вместе с ним в одном и том же классе Z₂-coпpяжeннocти (включая векторное представление).

Каждая из двух 16-мерных самодуальных решеток имеет 480 векторов с минимальным квадратом длины, равным 2.

Исследуем теперь низшие состояния на основе равенств (5.9) и (5Л0). В суперструнном секторе по аналогии с анали­зом гл. 4 низшими состояниями являются

Гетеротическая струна 5

Мы должны удовлетворить условию (5.10). Следовательно, низ ший уровень состоит из состояний

<8> fi-i| Q)_L, 16 векторов, i)_R ® | p')_L, 480 векторов,

<g> S~i I 0)_L, 16 спиноров, ® I /?0i» 480 спиноров

в обозначениях гл. 4.

Это спектр N = 1 -супергравитации, взаимодействующей с теорией Янга — Миллса, в которой калибровочная группа об­разуется 496 генераторами.

Наконец, мы должны понять, что произошло с симметрией в компактном 16-мерном пространстве. Фактически уже из ра­бот Френкеля и Каца, Сигала, а также Годдарда и Олива [50] известно, что можно построить представления групп Е₈У(Е₈ и Spin (32) /Z₂, привязанных к решеткам Г₈ХГ₈ и Г_]б соответ­ственно. С этой целью мы построим оператор Е(К¹), который действует на левобегущие состояния. Он представляет собой генератор группы, который транслирует состояния, принадле­жащие весовой решетке, на корневой вектор К¹. Построение про­водится следующим образом. Рассмотрим

^Е W = § -Ы1' ^ехР V^iK'^x' W ^{: С} (Ю- С⁵-

о где (К¹)² = 2, z = e2

Такие операторы содержат обычные трансляционные опера­торы exp (2iK¹x^I), которые сдвигают внутренние импульсы (рав­ные степеням отображения) на К.¹. Дополнительный член С (К¹) можно рассматривать как операторный 1-коцикл, кото­рый выбирается таким образом, чтобы 480 операторов Е(К^!) (5.18) вместе с 16 операторами р¹ удовлетворяли алгебре Ли групп £₈Х^8 или Spin (32) /Z₂.

Используя свойства когерентных состояний гармонических осцилляторов, можно непосредственно проверить, что

:ехр [2/W (z)]: :exp [2/LV (ш)]: =

= :ехр {2i [K^!x^! (z) + Ux¹ (w)]}: (z — т)^¹° для \w\<\z\. (5.19) Рассмотрим теперь коммутатор

\Е(К), ЕЩ].

54 Глава 5

Контур интегрирования в z-плоскости может быть деформи­рован, так что вклад в интеграл будут давать только возмож­ные сингулярности при z — w. Чтобы коммутатор был замкну­тым, мы должны потребовать выполнения условий

С (К) C(L) = e (К, L)C(K + L). (5.21)

Коммутатор будет ненулевым, если K-L = —1. В этом слу­чае K + L является одним из корневых векторов, так как {К + + L)² —2. Вследствие нормального упорядочения нулевых мод коммутатор также будет ненулевым, если K-L = —2. В этом случае (/С + ^)² = 0- Следовательно, К =—L. В остальных случаях коммутатор равен нулю. Таким образом,

[E(K),E(L)] =

е(Ку L)E(K + L), если K + L — корневой вектор, К¹ - р¹, если /С= —L, (5.22)

^ О в остальных случаях,

W, Е(К)]=-К^!, (5.23)

Коммутационные соотношения (5.22) и (5.23) в точности совпадают с коммутационными соотношениями для генераторов групп E₈y(E_s или Spin(32)/Z₂, если г(К,Ь) выбираются рав­ными структурным постоянным (+1 в этом базисе). Было по­казано, что можно построить С (К) и е(/С, L), и, следовательно, мы имеем два явных представления в пространстве Фока для левобегущих полей. Замечательно, что группа внутренней сим­метрии 50(16), с которой мы начали, превращается при ком-пактификации в группу ранга 16. Такое расширение группы в данном случае играет главную роль.

Глава б Операторный формализм

Теперь мы переходим к рассмотрению взаимодействий. Как и ранее, мы будем следовать методам, применяемым в теории то­чечных частиц. Существуют три различных подхода: оператор­ный формализм, метод континуального интеграла и полевая теория. Первые два подхода являются существенно пертурба-тивными, тогда как последний подход (мы будем обсуждать его в следующих главах) может применяться для исследования как пертурбативных, так и непертурбативных аспектов.

Рассмотрим теорию Хф³. В этом случае разложение по тео­рии возмущений для произвольного элемента S-матрицы можно рассматривать как сумму диаграмм, напоминающих разветв­ленные полимеры. В узлах таких диаграмм каждая частица может с некоторой вероятностью расщепиться, и между узлами распространяются свободные частицы. Такие амплитуды можно получить из интеграла по траекториям; схематично их можно записать в виде

А ~ X^N'² $ Dx* (т) ф, (*,) .. . i>_N Ы exp (iS M), (6.

где 'фк(хк)—волновая функция К-то внешнего состояния. Дей­ствие, входящее в интеграл (6.1), состоит из суммы свободного действия (2.1), члена, фиксирующего калибровку, и действия духов Фейнмана — Фаддеева — Попова.

Этот метод получения амплитуд хорошо работает в теориях, где имеется только трехточечное взаимодействие, и особенно для диаграмм первого типа, изображенных на рис. 6.1. Такие диаграммы описывают процесс распространения одной частицы, которая последовательно испускает другие частицы в моменты времени %_k. Тогда функциональный интеграл может быть раз­делен на интегралы от %_х до т₂, от ^₂ до./тз и т. д. В этих интер­валах частица движется свободной. Диаграммы других типов, изображенные на рис. 6.1, проще всего получить, используя условия унитарности, а также результаты, полученные для диа­грамм первого вида.

Существует другой подход, также очень полезный в особен­ности для диаграмм первого типа, — это операторный форма-