13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта

Выше мы подчеркнули тесное сходство условий Вирасоро со связями, возникающими в общей теории относительности; и те, и другие имеют общую причину — репараметризационную инва­риантность.

Квантование струны Намбу — Гото 157

В квантовой гравитации связи для супергамильтониана = 0 и суперимпульса Ж[ = 0 налагаются как квантовые усло­вия для физических состояний

^|ф> = 0, ^|ф)=0. (13.1.4.1)

Эти условия гарантируют калибровочную инвариантность кван­товой теории в физическом подпространстве. В "представлении Шредингера", где пространственная метрика gu(x) диагональна ty = ty[gu{x).], уравнения (13.1.4.1) известны как уравнения Уилера— Де Витта [20а].

Необходимое условие того, что ътп уравнения имеют смысл, состоит в принадлежности квантовых операторов Ж и Mi "пер­вому роду": [Жа, Ж§] ~ С1$Ж_У, без "аномального" члена. Если бы такой член присутствовал, из уравнений (13.1.4.1) можно было бы получить дальнейшие условия на физические состоя­ния, которые могли бы совершенно погубить теорию.

Следовательно, важным вопросом квантовой гравитации яв­ляется поиск представления для полевых операторов и упоря­дочение связей таким образом, чтобы они оставались принадле­жащими "первому роду". Как мы видели, явное вычисление воз­можных аномальных членов не может быть проведено — за исключением чисто формального рассмотрения — без определен­ного выбора гильбертова пространства, в котором представля­ются основные коммутационные соотношения. Насколько нам из­вестно, эта проблема не решена до сих пор; последние исследо­вания обсуждаются в работах [206].

Если пытаться квантовать модель струны в соответствии со схемой Уилера — Де Витта, то немедленно возникают серьез­ные проблемы. Уравнения, аналогичные условиям (13.1.4.1), имеют вид

= 0 (13.1.4.2)

для всех я; очевидно, что они являются несовместными вслед­ствие наличия неустранимого центрального заряда в алгебре Вирасоро. Следовательно, нужно ослабить условия (13.1.4.2), требуя, чтобы они выполнялись только для положительных п:

£„|ф> = 0, я>0, (13.1.4.3)

(а также (L_o — ao)|i[)>=O, см. ниже). Эта ослабленная версия классических связей является теперь явно совместной, посколь­ку величины L_n с п >■ 0 образуют истинную группу без цен­трального заряда: центральный заряд появляется в уравнении (13.1.3.3) только тогда, когда один индекс положительный, а другой отрицательный. Полная совместность теории при d ^ 26 доказывается в разд. 13.4.

158 Глава 13

Сравнение уравнений (13.1.4.1) и (13.1.4.3) приводит к ряду концептуальных вопросов, на которые мы попытаемся здесь ответить.

Первый вопрос. Так как в уравнениях (13.1.4.3) мы нало­жили только половину связей, неясно, использовали ли мы пол­ностью калибровочную инвариантность квантовой теории и не сохранили ли слишком много степеней свободы? Ответ будет в общем Wy%ae отрицательным. Оказывается, однако, что крити­ческое значение <i = 26, ограничивающее сверху значения раз­мерности пространства-времени, при которых решения уравне­ний (13.1.4.3) обладают неотрицательной нормой, также приво­дит к существованию в физическом подпространстве остаточной калибровочной инвариантности в смысле, который будет кон­кретизирован ниже. Эта калибровочная инвариантность устра­няет дополнительные степени свободы, так что и классическая, и квантовая струны обладают одинаковым числом степеней сво­боды. При d <C 26 это не верно, и не ясно, является ли теория, основанная на уравнении (13.1.4.3), хотя и согласованная, дей­ствительно квантовым вариантом рассмотренной выше теооии классической струны (существенные черты теряются).

Второй вопрос. Не следует ли несколько ослабить уравнение Уилера — Де Витта в квантовой гравитации, что было бы необ­ходимо, если бы в алгебре связей появлялся (с- или ^-числовой) "центральный заряд"? Ответ положительный, но пока работ в этом направлении не проведено.

Третий вопрос. Не следует ли попытаться использовать дру­гое представление для операторов струны, чтобы избежать по­явления центрального заряда?

Весьма вероятно, что такое представление вполне возможно построить, и полученная в этом случае квантовая теория была бы весьма отличной от той, которая здесь обсуждается. Мсгло бы оказаться, что эта еще не построенная теория весьма инте­ресна сама по себе (например вследствие появления в ней бес­конечномерных представлений алгебры Лоренца). Более того, поскольку эта теория не основывалась бы на использовании осцилляторных переменных, она могла бы оказаться более легко обобщаемой на объекты с большим числом измерений, например, на мембраны.

Однако, насколько известно автору, эта проблема до сих пор не рассматривалась. Соответственно остающаяся часть этой книги будет посвящена общепринятой квантовой теории,, которая уходит своими корнями в дуальные модели.

Упражнение. Рассмотрим замкнутую струну, для которой, ра­зумеется, справедливы все изложенные выше соображения (она

Квантование струны Намбу — Гото 159

имеет две алгебры Вирасоро с одинаковыми центральными за­рядами).

а. Уравнение Гамильтона — Якоби в этом случае задается в виде

ЬХ^А (g) 6Х_А (g) ^А * ~~ '

Око является классическим аналогом уравнения Уилера— Де Витта.

Вид уравнения (I) наводит на мысль искать решение, для которого варнационная производная 6S/6X¹ (сг) линейна по Х'*{о). Таким образом, положим

6X^a(g) где постоянный тензор клв удовлетворяет соотношению

(IV)

_{к X}^fB(a)_t (III)

Покажите, что из уравнения (II) следует, что тензор клв анти­симметричен, a S определяется выражением

₁

S = 1 J к_АВХ^л (о) Х'^в (a) da, (V)

О

= -Ь_вл. (VI)

Покажите также, что уравнения (IV) и (VI) имеют решения в любом четномерном пространстве-времени. Является ли к_Ав вещественным?

б- Постройте генераторы Пуанкаре для решений Х⁴(ст) и ^а{о), определяемых посредством S. Обсудите формальное классическое решение, порождаемое в четырех измерениях вы-ражением

S = ^Х« (а) X^х' (a) da + i^ X² (а) Х*'(о) da,

о, t = 0)==asin a, X³ (а, т = 0) = 0.

в. Рассмотрите затем волновой функционал ty[X^A (о)] — exp iS [Х^д (а) ]. Докажите, что он удовлетворяет квантовым

160 Глава 13

уравнениям Уилера — Де Витта ¹)

(независимо от того, какое регуляризованное значение припи­сывается 6^х(0)). Существование решений уравнений (VII) и (VIII) свидетельствует об отсутствии центрального заряда в том представлении, в котором поле Х^А(о) является диагональ­ным; при этом в (VIII) стоит &а справа от Х'^А (если только можно придать смысл такому представлению).

г. Скалярное произведение. Представляется естественным формально определить внутреннее произведение в пространстве 1|;рГ^л((т)] как

J (а) V [Х^А (а)] х [Х^А (а)] (IX)

(или (ф, х) = \ JJ dXffi (X^A) х (Х^А) в терминах фурье-ком-

понент). Это скалярное произведение положительно определено и формально лоренц-инвариантно (таким образом, отрицатель­ные нормы связаны с лоренц-инвариантным представлением Фока). Решения уравнений L_rt|i|)>=0, соответствующие физи­ческим состояниям, по-видимому, должны быть ненормируемы-ми, поскольку в выражении (IX) производится интегрирование также по чисто калибровочным степеням свободы и величина г]з [Х^А (а) ] действительно содержит осциллирующий множитель и является неограниченной.

Для физических состояний выражение (IX) должно быть модифицировано путем введения калибровочного условия (же­лательно лоренц-инвариантным способом). Но этого совершенно недостаточно для того, чтобы сделать функционал г}э[Х⁴(сг)] = = ехр /5 [Х^А (а)\ нормируемым, как можно видеть из закона

преобразования ty_k [Х^А (о)] =ехр-о-г \ k_ABX^A (о) Х'^в (a) da при

АО A J

действии группы Пуанкаре. Покажите, что

U (а, Л) ф_А [Х^А (а)} = V [Х^А (а)], где

^КАВ ^IVA^IY B^KCD'

ⁱ) Это решение сообщил автору Л. Мезенческу.

Квантование струны Намбу — Гото 161

Следовательно, величины tyk_AB принадлежат конечномерному представлению группы Лоренца. Может ли tyk_AB иметь конеч­ную норму (известно, что оператор V унитарен, если скалярное произведение лоренц-инвариантно, и скалярное произведение положительно определено)?

д. Вычислите Ра и {Мав)>

1 гя ⁼ ~2 )

— п

е. Приведенное выше решение не может быть непосредствен­ но обобщено на случай открытой струны. Докажите, что 5 =

(^а) Х'^в (<*) da = 0 для открытой струны (и, следо-

вательно, не удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби). Покажите, что из-за наличия ненулевых поверхностных чле-

нов S = —V k_ABX^A (а) Х'^в (о) da не обладает хорошо определен-

* Jo ной функциональной производной.