12.5. Калибровка светового конуса

Калибровка светового конуса играет очень важную роль в тео­рии струн. Например, только в этой калибровке существует последовательное квантование суперструн.

12.5А. Конформные калибровки

Калибровка светового конуса принадлежит к семейству так на­зываемых конформных калибровок. Как мы указывали выше, любая двумерная метрика является конформно плоской. Следо­вательно, существует такая система координат, в которых мет­рика принимает вид

^ (12.5.1.1)

или, как мы уже писали,

£а_Р = V— g Лар- (12.5.1.2)

Существование такой системы координат легко установить локально [5]. В глобальном смысле этот вопрос был гораздо лучше исследован для случая римановых поверхностей (т. е

Струна Намбу—Гото: классический анализ 135

для метрики с евклидовой сигнатурой), и было найдено, что для неодносвязных поверхностей необходимо вводить ''модули". Хотя исследования еще не завершены в полной мере, по-види­мому, для случая несингулярной псевдоримановой поверхности, рассматриваемой здесь, такие сложности не возникают¹). Это обусловлено тем, что, как обычно предполагается, причинная структура пространственно-временной поверхности, заметаемой струной, является тривиальной. Теперь мы объясним это под­робнее.

Рассмотрим для определенности открытую струну, так как в этом случае возникают более интересные вопросы. Зададимся делью доказать, что можно определить глобальные координаты (т. сг), где О^а^л, такие, чтобы выполнялось соотношение (12.5.1.1). Как ясно из проведенного выше обсуждения гранич­ных условий, пространственно-временной вектор дХ^л/да в кон­формных координатах обязательно равен нулю в граничных точках. Но кроме этого вырождения в граничных точках коор­динаты (т, а) всюду должны быть регулярными.

Предположение о тривиальности причинной структуры по­верхности эквивалентно требованию, что любое событие на ми­ровой поверхности струны находится по отношению к границам либо в причинном прошлом, либо в причинном будущем. Точ­нее, если 6 — регулярный ''временной параметр" вдоль мировой линии одного из концов струны (в качестве 0 можно взять, на­пример, время Мннковского /), то предполагается, что каждому событию Р на мировой поверхности можно сопоставить пару координат (В, 6'), таких, что 1) А— момент времени, когда нужно выпустить световой луч с одного из концов струны, что­бы он достиг заданного события Р, и 2) 0'—момент времени, когда световой сигнал, испущенный из Р, достигает того же конца струны (рис. 12.3) [15].

Система координат (6, G') определена глобально и, очевид­но, является изотропной. Эти координаты задают регулярную параметризацию эволюции струны в том смысле, что векторы дХ^А/д& и дХ^/д®' являются линейно независимыми всюду, за исключением граничных точек, где

дХ^л/дв = дХ^А/д#. (12.5.1.3)

В последнем условии отражено известное поведение свето­вых лучей в окрестности границ. Световые лучи приближаются к граничным точкам по единственному изотропному направлению,

*) Предположение несингулярности исключает изменения топологий в ло-ренцевом. случае и соответствует свободным струнам.

136 Глава 12

_в1

Рис 12.3. Изотропные координаты (6, 6') произвольной точки на мировой

поверхности струны.

касательному к мировой поверхности в этих точках. Условие (12.5.1.3) эквивалентно соотношению дХ^А/да = 0.

Ясно, что для более сложных причинных структур, содержа­щих горизонты событий (в случае черных дыр), определить 9 и 8' глобально невозможно. Такие структуры естественно воз­никают в двумерной гравитации [16], но влияние этих структур на теорию свободной струны в плоском пространстве-времени, если оно существует, до сих пор не исследовано. Следовательно, мы не будем их здесь рассматривать.

В координатах (8, 8') метрика записывается в виде

ds²= — F²(d, 9') dB dQ', (12.5.1.4)

где f(8, 8') — некоторая регулярная функция. Знак минус обус­ловлен тем фактом, что ds² должно быть отрицательным для положительных dQ и dQ\ так как событие (8 + d8, 8' + dQ') находится в причинном будущем по отношению к событию

(8,8').

Область изменений переменной 9 есть [—оо, + оо], тогда

как 8^х изменяется от 9 до 8 + 2/(9). Соотношение 8' = 6 задает один конец струны, а второй конец струны определяется соот­ношением 9'= 9 + 2/(9), где 2/(8) =^=0— полное время, кото­рое затрачивает световой луч, чтобы, отправившись из одного конца струны в момент времени 9, достигнуть другого конца и вернуться обратно.

При 9 = 9', а также 9' = 9 + 2/(8) функция F равна нулю в соответствии с тем, что границы мировой поверхности яв­ляются изотропными. В этих точках метрика (12.5.1.4) пол-

Струна Намбу — Гото: классический анализ 137

ностью вырождена, но это частично обусловлено выбором ко­ординат.

После того как мы представили метрику в виде (12.5.1.4), оказывается совсем нетрудно ввести конформные координаты (т, а). Они определяются просто как полусумма и полураз­ность:

_T = i-(e' + 9), (12.5.1.5а)

(9'е) (12.5.1.56)

С учетом этих определений соотношение (12.5.1.3) означает, что дХ^л/да = 0 в граничных точках, как мы упоминали.

Менее очевидно, что интервал а, а именно [0,/(0)], являет­ся постоянным. Для произвольной параметризации 8 мировой линии а = 0 это неверно, но этого можно добиться подходящей заменой 0->/(6). Ниже будет доказано, что время Минков-ского t обладает свойством /(/) = const в том случае, если удов­летворены уравнения движения струны.

Удобство конформной калибровки состоит в том, что урав­нения движения струны становятся линейными, если выполнено условие (12.5.1.1). В явном виде имеем

т^с^-О, (12.5.1.6)

тогда как условия связи Т_а$ =0 принимают вид

Х² + Г² —0, Х-Х' = 0 (12.5.1.7)

и т. д.).

Упражнения

1. Покажите, что конформная калибровка эквивалентна условиям А' = 1, N¹ = 0.

2. Рассмотрите конформную калибровку для случая замкну­ тых струн.

За. Рассмотрите двумерную поверхность (в трехмерном про­странстве-времени), заданную уравнениями

X² = sin a.

Найдите индуцированную метрику на поверхности.

б. Покажите, что световому лучу, испущенному из точки ос = 0, потребуется бесконечное время, чтобы достигнуть точки а = л. Может ли световой луч двигаться в направлении умень­шения а?

138 Глава 12

в. Исследуйте возможность введения конформной системы координат на всей мировой поверхности.

г. Рассмотрите эволюцию открытой струны, которая описы­ вается приведенными выше уравнениями для 0 ^ а ^ л. Убеди­ тесь, что концы струны движутся со скоростью света под пря­ мым углом к струне, но условие (12.1.7.86) не выполняется. Нарисуйте линии, ортогональные линиям т = const.