- •Фоковское пространство духов 224
- •Пуанкаре-инвариантность 233
- •59, 60 Вершинный оператор 58, 63, 66, 195
- •Сравнительная таблица обозначений, используемых в частях I и и
- •Глава 2
- •Глава 3
- •34 Глава 3
- •Глава 4 Суперструны
- •Глава 5 Гетеротическая струна
- •52 Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 6
- •66 Глава 6
- •Глава 7
- •Глава 8
- •78 Глава 8
- •Глава 9
- •Глава 10 Дальнейшие перспективы
- •Глава 10
- •Часть II Лекции по теории струн
- •Глава 11 Введение
- •Глава 12 Струна Намбу—Гото: классический анализ
- •12.1. Принцип действия
- •12.1.1. Действие Намбу — Гото
- •12.1.2. Действие в квадратичной форме
- •12.1.4. Калибровочные симметрии
- •106 Глава 12
- •12.1.5. Глобальные симметрии
- •12,1.6. Конформная симметрия
- •12.1.7. Граничные условия
- •112 , Глава 12
- •12.2. Гамильтонов формализм
- •12.2.1. Связи
- •12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма
- •Глава 12
- •12.3. Более подробное описание алгебры связей
- •12.3.1. Явные вычисления
- •12.3.2. Условия Вирасоро
- •1. Открытая струна:
- •12.4. Фурье-моды
- •12.4.2. Замкнутые струны
- •12.5. Калибровка светового конуса
- •12.5.2. Калибровка светового конуса
- •12.5.3. Общее решение классических уравнений движения струны
- •144 Глава 12
- •12.5.4. Скобки Дирака как независимые степени свободы
- •12.5.5. Действие и гамильтониан в калибровке светового конуса
- •12.5.6. Генераторы алгебры Пуанкаре
- •150 Глава 12
- •Глава 13
- •13.1. Алгебра Вирасоро — общее рассмотрение
- •13.1.1. Введение
- •13.1.2. Операторы Вирасоро — фоковское представление
- •13.1.3. Алгебра Вирасоро
- •13.1.4. Сравнение связей Вирасоро с уравнением Уилера — Де Витта
- •15.1.5. Алгебра Вирасоро и алгебры Каца — Муди
- •13.1.6. Алгебра Вирасоро на искривленном фоне
- •1 3.2.1. Брст-квантование — краткий обзор
- •13.2.3. Фоковское пространство духов
- •13.2.5. Критическая размерность на искривленном фоне
- •13.2.6. Физическое подпространство
- •174 Глава 13
- •13.27. Замечания по поводу удвоения
- •13.2.8. Разное
- •13.3. Квантование в калибровке светового конуса
- •13.3.1. Пуанкаре-инвариантность квантовой теории
- •13.3.2. Описание спектра
- •13,3.3. Замкнутая струна — пуанкаре-инвариантность
- •13.3.4. Спектр (замкнутая струна)
- •13.4. Ковариантное квантование
- •13.4.2. Вершинный оператор
- •13.4.3. Состояния ддф
- •Глава 14
- •14.1. Локальная суперсимметрия в двух измерениях
- •14.2. Суперконформная алгебра
- •14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей
- •14.2.2. Граничные условия
- •14.2.26. Замкнутая струна
- •14.2.4. Генераторы Пуанкаре
- •14.3. Фурье-моды (открытая струна)
- •14.3.3. Генераторы Пуанкаре
- •14.3.4. Замечания для случая замкнутой струны
- •Глава 15 Фермионная струна: квантовый анализ
- •15.1. Бекки — Рюэ— Стора — Тютина (брст) квантование модели Неве— Шварца
- •15.1.1. Фоковское пространство духов
- •15.1.2. Брст-оператор
- •15.1.3. Критическая размерность
- •15.1.4. Структура физического подпространства
- •15.2. Бекки — Рюэ — Стора — Тютина (брст) квантование модели Рамона
- •15.2.1. Фоковское пространство духов
- •15.2.2. Брст-оператор
- •15.2.3. Критическая размерность
- •15.2.4. Структура физического подпространства
- •15.2.5. Замечания для случая замкнутой струны
- •15.3.1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.3.2. Спектр Неве — Шварца
- •15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца
- •15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса
- •15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность
- •15.4.2. Спектр Рамона
- •15.4.3. Замкнутая струна
- •236 Глава 15
- •15.5. Суперсимметрия в десяти измерениях
- •15.5.1. Открытая струна
- •15.5.2. Замкнутая струна
- •Глава 16
- •16.1. Ковариантное действие
- •16.1.2. Инвариантное действие
- •16.1.3. Локальная суперсимметрия
- •16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
- •16.1.5. Структура калибровочных симметрии
- •16.1.6. Суперзаряды Пуанкаре
- •16.1.7. Гамильтонов формализм
- •16.1.8. Калибровка светового конуса
- •256 Глава 16
- •16.2. Квантовая теория
- •16.3. Суперчастица
- •16.3.1. Действие — калибровочные симметрии
- •16.3.2. Суперзаряды Пуанкаре
- •260 Глава 16
- •16.3.4. Смысл связей
- •16.3.5. Модель Сиджела
- •16.3.6. Калибровка светового конуса
- •270 Глава 16
- •272 Глава 16
- •Глава 17 Гетеротическая струна
- •Для бозонной струны, основанное на брст-методах
- •Разложение десятимерных спиноров в калибровке светового конуса
- •Оглавление
- •Глава 13. Квантование струны Намбу—Гото 152
- •Глава 15. Фермионная струна: квантовый анализ
- •Глава 16. Суперструиа 239
- •Глава 17. Гетеротическая струна 274
16.1.4. Уравнения движения и граничные условия
Уравнения движения, определяемые из лагранжиана (16.1.3.9), имеют вид
4а^°> (16.1.4.1)
=o (шл.4.2)
и
= 0, (16.1.4.3а)
= 0. (16 Л .4.36)
Первое уравнение получается при варьировании действия по компонентам метрики g^ которые входят в Lx только посредством унимодулярной комбинации V—g g%^ (действие вейль-
1) По этой причине потребовалось некоторое время, чтобы осознать, что эти калибровочные преобразования присутствуют даже в простейшем слу чае суперчастицы (см. работу [61]).
2) Значение а — —1/2яа' получается из а=1/2яа' перестановкой 81 ив2.
248 Глава 16
инвариантно), так что среди уравнений (16.1.4.1) независимых только два: след уравнений (16.1.4.1) тождественно обращается в нуль.
Смысл уравнений (16.1.4.1) снова состоит в том, что метрика на мировой поверхности струны (в суперпространстве) вейлевским преобразованием может быть приведена к соответствующей индуцированной метрике <о£соЛ[Г Следовательно, изотропные направления для gi^ совпадают с изотропными направлениями для ю£©д„, что и утверждалось ранее в уравнении (16.1.3.6). (Непосредственное доказательство уравнения (16.1.3.6) из (16.1.4.1) проводится следующим образом. Введем
два изотропных вектора к , п , таких что g^ = — kjji^ —
Запишем ou£ = ©££a + еИпА. Покажем, что уравнения (16.1.4.1) подразумевают со^сол+=0, ©1©д_=0, т. е. (^£^
Уравнение (16.1.4.2) получается варьированием по ХА. Что же касается уравнений (16.1.4.3а) и (16.1.4.36), то они эквивалентны уравнениям для 0-поля и могут быть из них легко получены с помощью Хл-полевых уравнений (16.1.4.2) (и некоторых преобразований Фирца).
В случае замкнутой струны поля естественно выбираются периодичными по сг, так как все они являются двумерными скалярами. В случае же открытой струны уравнения движения (16.1.4.1)—(16.1.4.3) должны быть дополнены граничными условиями, которые мы теперь определим.
Граничные условия для открытой суперструны должны быть таковы, чтобы при варьировании действия не возникало нежелательных поверхностных членов. Это будет иметь место, если на концах наложить условие [56]
91-=92 (16.1.4.4)
вместе с условием
соЛ1-=0. (16.1.4.5)
При выполнении последнего условия варьирование \Lxd2x не приводит к появлению поверхностного члена при сг = 0, л. Следовательно, нужно проверить лишь \ L2d2x.
Легко видеть, что условие (16.1.4.4) гарантирует отсутствие граничных членов при варьировании \ L2d2x по ХА. Проверка
этого факта для случая варьирования по 91 и 92 непосредственна и не будет здесь воспроизводиться.
Суперструна 249
Граничные условия для замкнутой струны (16.1.4.4) предполагают, что 91 и 02 имеют одинаковую киральность. Кроме того, две глобальные суперсимметрии должны быть соотнесены так, чтобы сохранить условие (16.1.4.4). Поэтому остается только одна глобальная суперсимметрия, а это означает, что открытая суперструна является УУ = 1-киральной теорией.
В случае замкнутой струны существуют две возможности в соответствии с тем, обладают ли б1 и б2 одинаковыми (теория Б) или противоположными (теория А) киральностями. Без каких-либо дальнейших ограничений эти теории имеют две суперсимметрии (JV =