16.3.6. Калибровка светового конуса

Поскольку модель Сиджела сталкивается с трудностями, мы возвращаемся к обсуждению первоначального действия супер­частицы.

Связями второго рода можно выбрать %y⁺_t поскольку

KxY⁺)«, (%У%] = 2 л/Iip* (Y-Y⁺)«p- (16.3.6.1)

Мы считаем, что р+ФО, как в обычном светокалибровочном анализе (хотя до сих пор калибровка не фиксирована, мы про­сто нековариантным образом выделяем связи второго рода).

В представлении Y~^MaTP^U приложения В матрица (xY⁺)a имеет ненулевые компоненты только для 16 <С а ^ 32. Кроме того, определитель 16X 16-матрицы (у~у⁺)а{}> 16 <С а, (3 ^ 32, равен (—2)¹⁶, поэтому он не равен нулю (конечно, значения 16 и 32 эффективно делятся пополам вейлевским условием).

На этом этапе можно воспользоваться стандартной процеду­рой вычисления скобок Дирака, соответствующих связям вто­рого рода (16.3.6.1), и затем попытаться переопределить новые переменные, которые придадут им канонический вид. Но более эффективно работать с действием. Дираковские скобки при этом получаются путем введения связей второго рода в дей­ствие. Они "диагонализуются" при переопределении новых пе­ременных, таких, что кинетический член принимает стандарт­ный вид \ pq + ^l/jffl .

Мы воспользуемся вторым путем и примем немного отлич­ные обозначения. Вместо изотропных +- ^и —направлений мы будем использовать два произвольных изотропных вектора, удовлетворяющих условиям [61]

д2 _{= г}2 _{= 0>} д._г==__1# (16.3.6.2)

Действие суперчастицы эквивалентно действию первого порядка 5 [*, р, 0, V] = J dx [р_А (Х^А - Шу^АЩ +1 Vp*p_A] . (16.3.6.3)

Это выражение получается путем применения преобразования Лежандра лишь к переменным (Х^А, рл).

Мы производим следующую замену переменных в уравне­нии (16.3.6.3) [61, 64]:

i i(16.3.6.4а)

(16.3.6.46)

где световые майорана-вейлевские спиноры т] и £ обладают лишь 8 независимыми компонентами, поскольку имеются

Суперструна 269

условия

д_Т1 = 0 = лС. (16.3.6.4b)

Заметим, что £ и 9 имеют противоположные киральности.

В приложении В содержатся полезные соотношения, удоб­ные для расщепления (16.3.6.46) и (16.3.6.4в). Используя их, получаем

5 [q, р, т], J, V] = J [

- / (п • р) р²?г£ + у ^Р^лРл] • (16.3.6.5)

Это выражение можно упростить путем элементарного измене­ния масштаба rj и £, чтобы поглотить множитель (д-р)"¹. В но­вых переменных г\ и £ (которые мы обозначаем теми же бук­вами) действие принимает вид (fjrri == £rg = 0)

S[q, р, r], Z, V] = \dx[p_Aq^A + ir\?i\-WL + Y VJ- П6.3.6.6)

Дальнейшая замена переменных

К-*К —2ijyt (16.3.6.7)

приводит к выражению

S [q, р, ч, С. V] = J rfrjp^ + гт|гт] +4" ^Р²]- (16.3.6.8)

Это действие явно не зависит от £, что является следствием фермионной калибровочной инвариантности теории (£ произ­вольно и не определяется уравнениями движения).

Чтобы полностью привести действие к каноническому виду, необходимо ввести импульс pi, сопряженный £, который удов­летворяет первичным связям первого рода:

p_£ = aL/at = o, (ш.з.6.9)

и добавить выражение (16.3.6.9) к5 с лагранжевым множите­лем v:

V + ftv]. (16.3.6.10)

Связи (16.3.6.9), разумеется, являются генераторами фермион-ных калибровочных преобразований и в точности эквивалентны

<p = Q(pt= pep)- Одно из достоинств проведенных выше замен переменных состоит в том, что ц^А и т] калибровочно-инвариант-ны при локальных фермионных преобразованиях в гамильтоно-вой форме, иначе говоря, они коммутируют с pj.

Действие (16.3.6.10) есть то, что мы получили бы, если по­следовали стандартной дираковскои процедуре устранения