Глава 12

Общие черты, присущие и струйной модели, и гравитации, появились не случайно. Они имеют одно и то же происхожде­ние, а именно репараметризационную инвариантность в двух и четырех измерениях.

Наконец, мы должны указать, что в выражении (12.2.2.3) полностью исчезло упоминание о вейлевской инвариантности. Это произошло не потому, что мы фиксировали симметрию Вейля в выражении (12.2.2.3), — мы вообще не накладывали никаких калибровок, — а потому, что мы использовали вейль-инвариантные переменные.

Замечание. Конкретный вид двумерных репараметризаций мировой поверхности струны Х^А(х, а), которые генерируют Ж (о) и Ж\(о), построен следующим образом.

Пусть Х^А (т, а) и <Р_А (т, а) задают траекторию в фазовом пространстве. Рассмотрим зависящий от т генератор

H_x[l\=\de{l^L(%, o)3®(o)+Z^l(x_t <з)Ж_х{о)}, (12.2,2.5)

действие которого на функции в фазовом пространстве задается скобками Пуассона. Он генерирует канонические преобразо­вания

ЬХ^А (т, а) = [2яа'£^х^^д + ?'Х^М] (т, а), (12.2.2.6а)

(т, а) = [ (^ + (&_AV)'] (т, а).

(12.2.2.66)

Преобразование (12.2.2.6а) совпадает с произвольным дву­мерным диффеоморфизмом при следующих условиях: 1) Ф^А связано с Х^А "первым" уравнением Гамильтона и 2) ^ и g¹ выражаются через £** с помощью разложений g¹ = l°Ng^1/2 и %^l = h°N^l + (^g¹. (Здесь N и N^l являются функциями канониче­ских переменных, заданными в виде N = (—g^oog)~¹/² и Ni==gou это легко видеть из связей, которые мы также считаем выпол­ненными.) Перечисленные условия позволяют записать соотно­шение (12.2.2.6а) в виде

6Х^Д^^Х^А,^. (12.2.2.7)

Чтобы соотношение (12.2.2.66) воспроизводило соответствую­щее изменение импульса Л, рассматриваемого как функция Х^А, нужно предположить, что "второе" уравнение Гамильтона также выполнено.

Таким образом, чтобы отождествить канонические преобра­зования (12.2.2.6) с двумерными диффеоморфизмами, необхо­димо переопределить инфинитезимальные параметры, а также использовать уравнения движения. Поэтому нет никакой гаран-

Струна Намбу — Гото: классический анализ

тии, что алгебра генераторов Ж, Ж\ изоморфна алгебре диф­феоморфизмов. Действительно, оказывается, что это не так, даже с учетом того, что преобразования, генерируемые выраже­нием (12.2.2.5), замкнуты вне массовой поверхности. (Если чи­сло измерений больше двух, то преобразования не замыкаются.)

Но это не мешает нам называть функции Н_х [£] генерато­рами двумерных замен координат, поскольку преобразования (12.2.2.6) совпадают с (12.2.2.7) на массовой поверхности. Ока­зывается, что это самый лучший способ, которым можно "пред­ставить" группу диффеоморфизмов в канонической формули­ровке, а следовательно, также в квантовой механике. Аналогич­ные трудности возникают и в общей теории относительности.

Любопытное свойство двух измерений состоит в том, что подкласс функций (12.2.2.5) с постоянными во времени пара­метрами 5М^а) ^и ^^[ (ст), а именно

Я [I] = jj do (I^х (а) Ж (а) + t (а) Ж_{ (а)), (12.2.2.8)

образует замкнутую алгебру по отношению к одновременным скобкам Пуассона¹). Эта алгебра изоморфна двумерной кон­формной алгебре, т. е. удвоенной алгебре одномерной группы диффеоморфизмов.

В квантовой механике на физические состояния наклады­ваются условия связи

Ж (о) | ф) = Ж_{ (а) №) = 0. (12.2.2.9)

В том случае, когда уравнения (12.2.2.9) имеют смысл, а имен­но, если Ж и Ж\ на квантовом уровне остаются связями пер­вого класса (не возникает аномалии), физические состояния не только инвариантны по отношению к конформной группе (12.2.2.8)

[exp i $ do {l^L (о) Ж (о) +1 (а) Ж_х (а))] | я|>> = | ф>, (12.2.2.10)

но также инвариантны при произвольных заменах координат (

^[

ехр / $ rfa (E¹ (т, о)Ж(о) + 1¹(х_у о)5Ма))]|ф>=Н1>>. (12.2.2.11)

Это показывает, как калибровочная инвариантность вводится в квантовую теорию. Мы подчеркиваем, что инвариантность по отношению к произвольным конформным преобразованиям с

*) Это не верно в случае высших размерностей, в которых оказывается,, что структурные "постоянные" зависят от канонических переменных.

U24 Глава 12

параметрами ^(а) и I¹ (а) приводит к уравнениям (12.2.2.9), а следовательно, к соотношению (12.2.2.11).

В случае, если в алгебре связей на квантовом уровне появ­ляется аномалия, условия (12.2.2.9) накладывать нельзя. Это означает, что потеряна не только конформная инвариантность, но также и инвариантность относительно произвольных замен координат, поскольку физические состояния не удовлетворяют больше условию (12.2.2.11). Именно Ьта ситуация возникает в теории струн, однако оказывается, что в критической размер­ности после учета духов инвариантность по отношению к пре­образованиям, которые генерируются связями, восстанавли­вается.

Упражнения

1. Выведите соотношение (12.2.2.3), применяя метод Дирака к действию в форме Намбу — Гото.

2. Постройте гамильтонов формализм для релятивистской мембраны. В качестве отправной точки используйте действие с квадратным корнем или квадратичное действие. Во втором случае появятся связи второго класса. Освободитесь от них подходящим выбором скобок Дирака.

12.2.3. Гамильтонова форма граничных условий (случай открытой струны)

Как мы уже видели, в случае открытых струн уравнения дви­жения нужно дополнить граничными условиями (12.1.7.6). Цель данного раздела — переписать условия (12.1.7.6) на языке ка­нонических переменных Х^А, &_А и лагранжевых множителей .N, NK

Из определений &_At N и N¹ легко вывести, что

^_л-^оо, N-+0, N^l-+0 при а-►О, я. (12.2.3.1)

Кроме того, &а не может расти быстрее, чем N~^l, так как величина

д₀Х^А = [Х^А, Н] = N&^A + N¹X'^A (12,2.3.2)

должна оставаться конечной.

Граничные условия в виде (12.2.3.1) здесь неудобны. Можно воспользоваться тем фактом, что &_А является плотностью, и переписать граничные условия в более удобном виде. Идея со­стоит в том, что если заменить координату а на

Струна Намбу — Гото: классический анализ 125

так чтобы до/до'^0 в граничных точках, то можно сделать 0>а конечным. Тогда N становится тоже конечным. Это можно проделать, не нарушая интервала or.

В выбранных подходящим образом координатах новая фор­ма граничных условий имеет следующий вид:

X^м = 0, (12.2.3.3а)

&_А конечно, (12.2.3.36)

N конечно, (12.2.3.3b)

N^l = О (12.2.3.3г)

при а = О, я. Очевидно, что можно перейти от функций, удов­летворяющих условию (12.2.3.3а) (и X ФО внутри интерва­ла), обратно к "регулярным" координатам, в которых X Ф О всюду; это осуществляется соответствующим преобразованием координат. Таким способом получают новые &*_А, N и N\ кото­рые удовлетворяют первоначальным граничным условиям. По­этому можно принять условия (12.2.3.3), которые более удобны, так как в этом случае ни одна из переменных не имеет сингу­лярного поведения в граничных точках.

Упражнение. Проверьте явно утверждения, сделанные выше.

Исследуйте более детально поведение переменных в окрестно­сти точек а = О, я.

Уравнения движения будут сохранять условия (12.2.3.3) только в том случае, если пространственные производные выс­ших порядков от канонических переменных подчиняются спе­циальным ограничениям.

Это легче всего проанализировать, если предположить, что калибровочные функции, которые имеются в нашем распоряже­нии, N и /V¹ удовлетворяют следующим условиям:

= 0 при а = 0, я. (12.2.3.4)

Здесь f(^ft> обозначает k-ю производную от функции f¹). Тогда уравнения движения

Х^А=[Х^Л, Я], Ф_А = [&_А, Н] (12.2.3.5)

вместе с условиями (12.2.3.3) означают, что все нечетные про­изводные от Х^А и &а равны нулю в граничных точках:

_{=siQ при а==0}^ _л> (12.2.3.6)

*) Предположение, что функции принадлежат С°°, конечно, можно осла­бить, но здесь это для нас несущественно.

126 Глава 12

Граничные условия (12.2.3.4) при а = 0 в совокупности эк­вивалентны утверждению, что можно осуществить гладкое про­должение канонических переменных на интервал [—я, 0], ис­пользуя следующие свойства симметрии:

Х^А(-о)=Х^А(о)₉ <?_А(-в) = $>_А(о), (12.2.3.7а) N (-о) = N (a), N¹ (-а) = -N¹ (а). (12.2.3.76)

Граничные условия при а = я тогда означают, что эти перемен­ные можно продолжить на всю действительную ось и, таким об­разом, сделать их гладкими периодическими функциями с пе­риодом 2л.

Упражнение. Покажите, что с учетом приведенных выше гра­ничных условий гамильтониан в том виде, в котором он выпи­сан, имеет хорошо определенные функциональные производные и не требует "улучшения" при а = 0, л (см. [13, 14]).

12.2А. Пуанкаре-заряды в гамильтоновом формализме

Исключив производные по времени Х^А из выражений для за­рядов (12.1.5.4) и (12.1.5.5), получим

я или 2л

Qa= J &A(o)do, (12.2.4.1)

о

л или 2л

Qab = t S ($>A(o)X_B(o)-<?_B(e)X_A(°))do. (12.2.4.2)

0

Скобки Пуассона этих зарядов образуют замкнутую алгебру_г соответствующую алгебре Пуанкаре.

Упражнение. Проверьте, что заряды являются калибровочно-инвариантными и сохраняются, т. е. [Q, Я] —0 при любом до­пустимом выборе функций хода и сдвига.