Глава 5 Гетеротическая струна

В предыдущей главе мы видели, что существуют различные типы суперпуанкаре-алгебр, соответствующие различным типам суперструн, и генераторы алгебр в каждом частном случае мо­гут быть получены из наиболее общего набора генераторов (4.10) — (4.12). Самый простой случай пуанкаре-алгебры полу­чается, если для замкнутой бозонной струны провести разложе­ние х*¹ (т, а) = xv> (т — а) + х^(т + а) и аналогично для />^и. Тогда в алгебре Пуанкаре появятся две подалгебры, одна из которых состоит только из правобегущих полей х^(х — о) и р^(%—a), a другая — только из левобегущих полей jc^(x + a), /^(т+а). Важно отметить, что эти две подалгебры являются совершенно независимыми, поэтому одну из подалгебр можно приравнять нулю. То же самое имеет место и в случае суперструны, когда алгебра задается полным набором генераторов (4.10) — (4.12). А именно нетрудно видеть, что в выражениях, содержащих про­изведение S^A на х и р, S¹ умножается только на правобегущие поля, а S²-—только на левобегущие. Кроме того, S¹ и S² сами являются правобегущими и левобегущими соответственно, по­этому и в случае суперструны можно проделать непротиворечи­вое усечение алгебры, например, полагая все левобегущие пе­ременные равными нулю. Такое усечение приведет к алгебре с N = 1-суперсимметрией.

Случай гетеротической струны [30] возникает, если к гене­раторам алгебры правого сектора 10-мерной суперструны, по­лученным методом усечения, добавить генераторы алгебры ле­вого сектора 26-мерной бозонной струны. Видно, что размерно­сти правого и левого секторов гетеротической струны явно не совпадают. Проблема разрешается, если считать, что к 10 про­странственно-временным координатам суперструны х^(т — о) добавляются только 10 координат бозонной струны ^(т+а), образующих 50 (1,9) -подалгебру полной алгебры бозонной струны. Тогда остальные координаты бозонной струны х¹ (т, а), /==1,2, ..., 16, требуют иной интерпретации, нежели коорди­наты пространства-времени. В конечном счете нужно также по­нять, что стало с симметрией SO(16).

Гетеротическая струна 49

Проверим теперь замкнутость алгебры. Рассмотрим алгебру бозонной струны. Для левого сектора имеем

л

ЛЛ2

^{+ Х'У. (5.1)}

Комбинация лр¹-{-х^ч является левобегущей. Если потребо­вать, чтобы р¹ и х¹ были левобегущими по отдельности, то из разложения по модам мы видим, что р¹ совпадает с х^п (с точ­ностью до л). Следовательно, мы должны заменить канониче­ские коммутационные соотношения на

[*' (а, т), р¹ (</, т)] = ±6 (а - <тО б" (5.2)

и потребовать выполнения условия

[*' (а, т), *' (с/, т)] - - ^ л А. б (а - а') б", (5.3)

где

-5— б (сг — а') = е (а — а').

^а

Это изменение не нарушит замкнутости остальной алгебры. Следовательно, в полной алгебре гетеротической струны имеем

i2 | /■ 'i\2 ._Pfl_c'a

_{V], (5.4)}

О

и условие на х~(а) имеет вид

_1_ р л , \о.о)

где S = SK Остальные генераторы N= 1-суперпуанкаре-алгеб-ры даются формулами (4.10) — (4.12) при S² = 0.

Действие, соответствующее гамильтониану (5.4), имеет вид

л

5 1 I J I J = «- \ йа \ ат

^ J J

(5.6) вместе с условиями связи

Вместо этого можно добавить член Х[(д/дт — д/да)х^!]² к дей­ствию. Как показал Зигель [47], результирующее действие об­ладает локальной калибровочной симметрией, которая позво­ляет откалибровать лагранжев множитель X, в результате чего снова появляются условия связи (5.7).

50 Глава 5

Каноническая структура действия может быть проанализи­рована с помощью метода Дирака. Если учесть, что условия (5.7) являются связями второго класса, то каноническими ком­мутационными соотношениями являются (2.44), (4.5) и (5.2).

Следовательно, мы выбираем решение уравнений движения для х¹ в виде

х' (т + а) = х' + р' (т + а) + ~ £ -^- «»-««<*+«>. (5.8)

Но это решение не удовлетворяет периодическим граничным условиям по а! Для решения этой проблемы мы вынуждены до­пустить более общие граничные условия. Пусть координаты х^! лежат на гиперторе с радиусами R; тогда функция х^!(а, т) ото­бражает окружность 0 ^ а ^ я на окружность 0 ^ х¹ ^ 2nR. Такие отображения делятся на гомотопические классы, кото­рые характеризуются степенью отображения L¹, показываю­щей, сколько раз х¹ пробегает по окружности [48]. Тогда вы­ражение (5.8) допускается в качестве решения, если р¹ = 2UR. Следовательно, мы вынуждены считать, что 16 координат х¹ лежат на гиперторе. Это очень привлекательно е физической точки зрения, так как размеры гипертора могут быть доста­точно малыми, чтобы не нужно было думать о координатах х¹ в макроскопическом масштабе.

Прежде чем детально осуществлять такую компактифика-цию, рассмотрим ее влияние на выражения (5.4) и (5.5). Если подставить в выражения (5.4) и (5.5) решения для х\ S^a и х¹,

то по аналогии с (2.57) и (2.58) мы получим (а' = 1/2)

16

> (5.9)

а также

16

£ (5.10)

/-1 где

оо

_{Af - Z (aUai + nStnSZ), (5.11)}

се

(X X) (5-12)

В выражениях (5.9) и (5.10) вклад (—1) появился вследствие регуляризации вакуумных флуктуации. Хотя этот вклад и не сокращается, замечательно, что в теории нет тахиона. Это сле­дует уже из того, что вакуумный вклад сокращается в правом

Гетеротическая струна 51

секторе. Кроме того, из выражения (5.10) видно, что (р¹)² должно быть четным целым числом.

При дальнейшем рассмотрении 16-мерный гипертор, кото­рому принадлежат координаты х¹, может быть представлен как пространство R¹⁶, факторизованное по решетке Г¹⁶, задаваемой 16 независимыми базисными векторами е[ (i=\, ..., 16). Мы выбираем четную решетку (объяснение этого выбора дано

ниже) с одинаковой длиной всех е,-, равной -у/2:

— ¹⁶ х¹ = х¹ + л/2л

где rti — целые числа, a Ri — радиусы гипертора.

Для гипертора #¹⁶/Г¹⁶ допустимые значения импульса р¹ ле­жат на дуальной решетке Г¹⁶, задаваемой векторами е*/, удов­летворяющими условию

Х>/^/ = 6... (5.14)

Из соотношений (5.2) видно, что оператор 2р¹ генерирует транс­ляции, т. е.

1 ¹⁶

^⁷- ^(5л5)

где nti — целые числа. Но мы только что видели, что p^l = L\ где V— степень отображения, и

16

Отсюда мы заключаем, что допускаются только состояния с им-

пульсами, лежащими на пересечении решеток Г¹⁶ и Г¹⁶. Более того, вводя снова наклон траектории Редже а' и сравнивая вы­ражения (5.15) и (5.16), мы получаем

_{У?. (5.17)}

Это означает, что внутренние координаты имеют малые размеры. (Параметр а/ до сих пор был произвольным, и мы надеемся, что численное значение его в конечном счете будет •фиксировано теорией. Это значение, несомненно, будет малым,

скажем -у а' < 1СГ м, так как мы не наблюдали в экспери­менте ни одной дочерней траектории Редже, т. е. состояний

с N = 1 и выше.) Окончательно получаем, так как Г < Г и Г