13.4. Ковариантное квантование

13.4.1. Устранение духов

как основной результат ковариантного подхода

Ковариантное квантование струны обладает интересными ма­тематическими приложениями. Кроме того, оно, по-видимому, является более гибким, чем другие методы, поскольку порож­дает согласованную теорию, по крайней мере на свободном уровне, для большего числа значений d и «о, чем только лишь d = 26 и ао=1. (Но значения d — 26 и ас = 1 выделены даже в ковариантном подходе.)

Выше мы подчеркивали невозможность наложения условий Вирасоро

L_n\ijp) = O_t n^z, (13.4.1.1)

для всех (положительных и отрицательных) значений л, имею­щую своей причиной нетривиальный центральный заряд алгеб­ры Вирасоро. Правильнее ослабить условия (13.4.1.1):

Ljij)) = O, n>0, (13.4.1.2а)

(L_o-a_o)|i|)>=0, (13.4.1.26)

где cto обозначает неоднозначность упорядочения в L_o. Состоя­ние |i|;> становится теперь чисто бозонным состоянием, содер­жащим только моды а^ (без т\_п или &*_п). Такое состояние обо­значалось символом \Р) в БРСТ-разделе.

Ослабленное условие (13.4.1.2) важно как технически, так и концептуально. Оно существенно отклоняется от стандартных рецептов манипулирования со связями типа "закона Гаусса", проистекающими из калибровочной инвариантности одного дей­ствия, в том, что оно затрагивает лишь "половину" из всех условий двумерной репараметризационнои инвариантности в квантовой теории. Поэтому не очевидно, что теория, основанная на системе (13.4.1.2), есть квантовая теория геометрической ре-параметризационно-инвариантной струны.

Оказывается, в ковариантном подходе также весьма тонким образом вновь восстанавливается полная репараметризационная инвариантность при критических значениях d = 2Q и а₂ = 1, снова вследствие присутствия нулевых физических состояний, которые могут быть отфакторизованы.

Но независимо от этих общих вопросов можно еще интере­соваться условиями, при которых имеет смысл квантовая тео­рия, определяемая системой (13.4.1.2). Квантовая теория будет иметь смысл, если условий (13.4.1.2) достаточно для исключе­ния из физического подпространства всех состояний с отрица-

Квантование струны Намбу — Гото 191

тельной нормой. Такие состояния генерируются операторами

Следовательно, центральным вопросом ковариантного под­хода является проблема устранения духов. Здесь термин "дух" конкретно относится к состояниям с отрицательной нормой, а не к духам БРСТ-подхода.

Структура подпространства, определяемого системой (13.4.1.2), исследовалась в работах [18, 37], и были получены следующие выводы.

1. При d > 26 или а₀ > 1 духи не устраняются полностью из физического подпространства.

2. При d = 26 и ао = 1 справедлива теорема об отсутствии духов. Если аоф 1, духи не устраняются.

3. Наконец, при d ^ 25 и ао ^ I духи в физическом подпро­ странстве отсутствуют.

Полное доказательство этих результатов здесь воспроизво­диться не будет. Оно может быть найдено в работе [37]. Мы лишь приводим ниже доказательство теоремы об отсутствии ду­хов при d = 26 и ао==1, когда имеются особые отличительные черты ("квантовая калибровочная инвариантность").

Как возникают критические значения d = 26 и ао = 1, мож­но приблизительно понять из следующих рассуждений.

Почему ао=1? Положим ао > 1. Рассмотрим состояния первого уровня с N= 1:

k_Aa\^A{Q_t p), (13.4.1.3)

где На — произвольный rf-вектор. Условие массовой поверхности

(L₀-a₀)k_Aa*_x^A\0, p) = 0 (13.4.1.4)

приводит к пространственноподобности d-импульса р^А. Следова­тельно, состояния (13.4.1.3) на массовой поверхности являются тахионными при ао>1. Заметим далее, что в этом случае единственным нетривиальным уравнением из (13.4.1.2а) оказы­вается уравнение для п= \. Оно сводится к

k_Ap^A = O. (13.4.1.5)

Вектор k_A ортогонален р\ так что он может быть временипо-добным.

С другой стороны, состояния (13.4.1.3) имеют норму¹)

k_Ak^A. (13.4.1.6)

') Как мы видели, норма в действительности бесконечна из-за опреде­ленной величины d-импульса. Чтобы сделать норму конечной, нужно рассма­тривать волновые пакеты (и отфакторизовать 6(рлр^л + т²)). Впоследствии мы систематически будем забывать проводить интегрирование по импульсам ъ скалярном произведении.

192 Глава 13

Следовательно, для времениподобных векторов кл физические состояния (13.4.1.3) имеют отрицательную норму. Это означает, что при ао > 1 условия Вирасоро не устраняют из физического подпространства состояния с отрицательной нормой.

При а₀ = 1 вектор р^А является нулевым, а вектор k^A с необ­ходимостью оказывается пространственноподобным или изо­тропным. Если kA = kpA, соответствующее физическое состояние отщепляется от остальных физических состояний, поэтому век­тор k_A эффективно имеет лишь п — 2 независимых компонент. Это согласуется с тем фактом, что состояния, отвечающие уров­ню с N = 1, оказываются безмассовыми; малой группой явля­ется O(d— 2).

При ао < 1 вектор р^А времениподобен. Тогда вектор k^A из уравнения (13.4.1.5) оказывается пространственноподобным. Все d— 1 направления вектора &д существенны для этих мас­сивных состояний; следовательно, значение ао = 1 является кри­тическим (допустимым) с особыми свойствами.

Почему d = 26? Чтобы понять, что нарушается при d > 26, рассмотрим состояния второго уровня (см. работу [38]):

> Л (13.4.1.7)

где глав — Шва — симметричная матрица dy^d. Норма этих со­стояний задается выражением

(k \k)= k\k^A + \m_ABm^AB. (13.4.1.8)

Условия Вирасоро накладывают на р^А ограничение

а'р_Ар^А + 2 - ао = 0 (13.4.1.9)

и, кроме того, приводят к соотношениям

k_A^im_ABpB y7, (13.4.1.10а)

— i ^p^Ak_A -|m/ = 0. (13.4.1.106)

Если мы примем, что ао ^ 1, то вектор р^А будет временипо-добным, и можно выбрать его в виде р^^(р, 0, 0, ..., 0), где

a>² = 2-a₀. (13.4.1.11)

Уравнения (13.4.1.10) могут быть разрешены относительно кл и woo как функций независимых компонент Woa и т_аъ мат-

Квантование струны Намбу — Гото 193

рицы т_АВ:

(13.4.1.12а)

(13.4.1.126) (13.4.1.12b)

Эти последние соотношения позволяют представить скалярное произведение (k\k) в виде

(13.4.1.13)

Член с moa неотрицателен, если ao ^ 1, что мы как раз и предполагаем. Единственный отрицательный вклад может про­исходить от ненулевого следа т^а_а- Если принять, что

mab = -jhr^mCc^b°b> (13.4.1.14)

то выражение (13.4.1.13) принимает вид

-^4а»⁾²]- (13-4.1.15)

Это выражение положительно, если

<*>-■§•+ 2(rf-i) (9-H)²>0, (13.4.1.16)

т. е.

а_о< ^—^ ^ (< 1) (13.4.1.17а)

или

а₀^ ₁₆

если d > 25. (Для d ^ 25 выражение (13.4.1.16) всегда поло­жительно.)

Детальный анализ показывает, что первая возможность (13.4.1.17а) неприемлема, поскольку ведет к состояниям с от­рицательной нормой на высших уровнях N ^> 2 [37]. Таким образом, остается только возможность (13.4.1.176).

Функция (13.4.1.176) возрастает с ростом d и принимает максимально допустимое значение а_о=1 при критической раз­мерности d = 26. Если d > 26, то ao, задаваемая выражением (13.4.1.176), оказывается больше единицы.

194 Глава 13

Другими словами, если положить ао—1, то выражение (13.4.1.16) оказывается отрицательным при d > 26 и в физиче­ском подпространстве присутствуют состояния с отрицательной нормой. Эти состояния с отрицательной нормой становятся ну­левыми состояниями, отщепляющимися от всех остальных фи­зических состояний в d = 26 измерениях (выражение (13.4.1.16) равно нулю)'), w состояниями с положительной нормой в d << 26 измерениях. Таким образом, значение 26 возникает как крити­ческая размерность.

Максимальное число отщепляемых нулевых состояний появ­ляется при критических значениях ао = 1 и d — 26. Оказывает­ся, что размерность эффективного физического подпростран­ства, отвечающего второму массовому уровню, равна 25 + 26Х X 25/2 (число независимых компонент т_Ав) —25 — 1 (числа отщепляемых состояний). Это число также равно 24+25X24/2, т. е. числу состояний в калибровке светового конуса, соответ­ствующих второму массовому уровню (a£'|0) ^и а\¹а[*\0)у

Упражнение. Исследуйте физическое подпространство третье­го массового уровня.