16.1.5. Структура калибровочных симметрии

Как отмечалось выше, суперструна обладает тремя различными типами калибровочной инвариантности: репараметризационной инвариантностью, вейлевской инвариантностью и локальной фермионной симметрией. В то время как первые два типа инва­риантности образуют истинные группы преобразований, послед­ний обладает более сложной структурой. Вычисление антиком­мутатора двух "суперкалибровочных" преобразований приводит к преобразованию очевидно нового типа (плюс члены, исчезаю­щие на связях). Это "новое" преобразование имеет вид [56]

(16.1.5.1а) (16.L5.16)

6_АХ^А = i&y^A6_A& + ;eVd_A6², (16.1.5.1 в)

(16.1.5. lr)

Является ли это преобразование действительно новой калиб­ровочной инвариантностью, подразумевающей дальнейшее вы­рождение кинетического члена в действии (и необходимость в собственных духах Фаддеева — Попова и т. д.), или это ка­либровочное преобразование тривиального типа?

Легко видеть, что любое действие S[q*] всегда обладает ин­вариантностью

д<7'=-?1е", (16.1.5.2)

bq¹

где величина е^ч=(—)⁸*⁸/⁺¹е^/г совершенно произвольна. В са­мом деле, имеем

^ⁱ ^^e^l' = 0, (16.1.5.3)

где ei: — грассманоза четность q^l.

250 Глава 16

Но это преобразование тривиально, поскольку исчезает на связях и не означает само по себе наличия какого-либо вырож­дения в действии или неоднозначности в задаче Коши. Поэтому важно установить, является ли (16.1.5.1) действительным калиб­ровочным преобразованием или же преобразованием тривиаль­ного типа (16.1.5.2).

Наша цель состоит в том, чтобы показать, что преобразова­ние (16.1.5.1) сводится к соответствующему суперкалибровоч­ному преобразованию (16.1.3.5), если использовать уравнения движения. Соответственно ничего нового не возникает.

Упражнение. Рассмотрите действие S[q^l], инвариантное от­носительно преобразований, исчезающих на связях. Покажите, что эта инвариантность с необходимостью должна быть вида

(16.1.5.12) ,где e^iJ" = (—)⁸*⁸J⁺¹ e^j\ если уравнения движения неза­висимы. (Если они не являются независимыми, то использова­ние их зависимости опять-таки позволяет записать инвариант­ность в виде (16.1.5.2).)

Уравнения движения для 0 можно переписать в виде

-^{61 =} °> (16.1.5.4а)

д₊е² = 0. (16.L5.46)

Вместе с уравнениями для метрики (ш^)² — (оИЛ²= 0 соотно­шения (16.1.5.4) предполагают, что

S\ (16.1.5.5а)

5². (16.1.5.56)

Упражнение. Выведите уравнения (16.1.5.5).

Далее, уравнения (16.1.5.5) позволяют представить преобра­зования (16.1.5.1а) и (16.1.5.16) в виде

что согласуется с (16.1.3.5а) и (16.1.3.56) при 2*y_ = л/— g 5^]A₊ и 2ш² —V—g S²A_. После того, как это установлено, эквива­лентность соотношений (16.1.5.1 в) и (16.1.3.5в) следует немед­ленно. Остается проверить, что преобразование (16.1.3.5г) ис­чезает на связях, когда к¹ и х² задаются приведенными выше

Суперструна 251

выражениями. Это можно сделать так:

поскольку матрица Су а симметрична; здесь пР и kP — введенные выше изотропные векторы.

Можно сделать заключение, что преобразование (16.1.5.1) не есть дополнительная локальная инвариантность, а сводится к (16.1.3.5) на связях. Поэтому система координатных и супер­калибровочных преобразований при использовании уравнений движения замкнута.