15.3.3. Спектр замкнутой струны Неве — Шварца

Если и право- и левобегущие секторы описываются антиперио­дическими полями, то спектр замкнутой струны близок к опи­санному выше.

Основные уравнения представляют собой условие массовой

поверхности

\ N_L-\ (15.3.3.1)

и условие "равенства правого и левого"

N_R = N_L. (15.3.3.2)

¹) Следует также подчеркнуть здесь тот факт, что возбужденные со­стояния струны являются одночастичными состояниями, как можно видеть, например, из того обстоятельства, что спектр масс дискретный. Поэтому между спином и статистикой нет противоречия, несмотря на то, что мы имеем фермионные осцилляторы с векторным индексом. (Статистика имеет дело со многими частицами одновременно.)

Фермиоиная струна: квантовый анализ 233

Первое состояние является основным — тахион:

|0>, а'М²=—2, спин 0. (15.3.3.3)

Оно имеет Gp-четность — 1, где

Z6;4-i£O^ (15.3.3.4)

(Последнее равенство имеет место для состояний на массовой поверхности, удовлетворяющих соотношению (15.3.3.2).) Следующие состояния безмассовые:

bVbV\O)_t G_p=l, a'M² = 0. (15.3.3.5)

Эти состояния могут быть расщеплены на бесследовый симмет­ричный тензор ("гравитон", спин 2), антисимметричный тензор второго ранга и скаляр спина 0.

Остальная часть спектра строится аналогично. Она содер­жит состояния только с целым спином.

15.4. Квантование модели Района в калибровке светового конуса

15.4. 1. Пуанкаре-инвариантность

«Лоренцев генератор М¹~ задается выражением

2 ^ ^2a^fn p+

2 V ° 2а'р+ V 2 ^ ^2a^fn p+

___ T**F ~ F Г* / V* F , рг'

-?- > V2 1== V²—1== • (15.4.1.1)

m>0 ^ ^{P+ 8} ^^{2Ct P +}

В последнем члене этого выражения мы приняли антисиммет­ричное упорядочение для нулевых Го-мод. Любое другое ре­альное упорядочение должно также приводить к выражению (15.4.1.1).

Коммутатор [М¹, М*'] в общем случае не равен нулю. Для него получаем

_{- т) + "о] КЧ - °*»Ч)}

п>0

+ 16a' U)* ^ ^(Г°^Г° ~ ^Г"^Г°)' (16.4.1.2)

234 Глава 15

Требуя обращения в нуль выражения (15.4.1.2), получаем опять критические значения для d и ад

d=10, a_o = O. (15.4.1.3)

15.4.2. Спектр Рамона

Новая черта модели Рамона состоит в присутствии фермионных

нулевых мод То. На квантовом уровне они образуют алгебру Клиффорда.

В подходе световой калибровки независимыми являются

только поперечные матрицы Го и выполняется условие

ПП + Т¹оН = 26¹¹. (15.4.2.1)

Пространство неприводимого представления этих соотноше­ний 16-мерно (8 независимых Г^-матриц) ^]). Элементы этого про­странства преобразуются как спиноры при SO(8)-вращениях, генерируемых соответствующими произведениями Fq'tJ¹. Имен­но поэтому все состояния спектра Рамона имеют полуцелый спин.

Хорошо известно, что в пространстве-времени четной раз­мерности дираковское представление группы вращений приво­димо. Оно сводится к двум неприводимым представлениям, по­лучаемым при фиксировании определенной ориентации (при на­ложении вейлевского условия). В нашем случае 16-мерное пространство сводится к двум 8-мерным подпространствам.

Первое состояние в спектре является основным состоянием |0>; оно безмассово и обладает спином 1/2. Поскольку а_о = О, тахион не возникает:

\0)и(р\ р⁺), 16 состояний, 2 спин 1/2, а'Л4² = 0. (15.4.2.2)

Мы явно выделили зависимость основного состояния от всех пе­ременных задачи. Состояние \0}и(р\ р⁺) есть прямое произве­дение фоковского вакуума |0>

= ° (15.4.2.3)

^]) В световой калибровке изотропные Г-матрицы Г* являются функциями

остальных переменных. Они не могут рассматриваться независимо. Заметим, что скалярное произведение и*и (где и — элемент пространства представле­ния соотношения (15.4.2.1)), очевидно, положительно определено и приводит

к эрмитовости всех Г_о. В световой калибровке нет состояний с отрицатель­ной нормой.

Фермиоииая струна: квантовый анализ 235

на спинор и, принадлежащий 16-мерному пространству пред­оставления соотношения (15.4.2.1). Состояние (15.4.2.2) также характеризуется своим d-импульсом р\ р+.

В свете наших замечаний относительно приводимости спи-норного представления основное состояние (15.4.2.2) без вся­кого усечения фактически содержит два представления группы Пуанкаре со спином 1/2 ¹).

Следующие состояния получаются при действии на вакуум

осцилляторами aV или П\ имеющими SO (8) -векторный ин­декс:

aY\0)u{p⁺, р~\ T'V\0)u(p⁺, p~) (256 состояний). (15.4.2.4)

Они массивны, а'М²=1, и имеют спин 3/2 и 1/2. Масса для всех состояний снова задается массовой формулой

а'М² = N - а₀ = N. (15.4.2.5)

Высшие состояния рассматриваются аналогично.