12.2.2. Смысл условий связи — упрощение формализма

Связи первого класса в общем случае соответствуют калибро­вочной инвариантности. В этом разделе это соответствие будет продемонстрировано явно, и мы покажем, что появление не­определенных функций от т в уравнениях Гамильтона связано с возможностью провести произвольные калибровочные преоб­разования по ходу эволюции системы- В отсутствие условий, фиксирующих калибровку, такой произвол, конечно, должен быть.

Связь р = 0, или, точнее, у up = 0, генерирует преобра­зования Вейля канонических переменных. В самом деле, полу­чаем

И = [yii И, J Ц И Р^п (О Ун И do'] = ix (о) Y_U И,

6р^п (а) =—р (о) р" (а). (12.2.2.1)

Для остальных канонических переменных у¹ имеем

[

У¹.

(где р =pⁿY Вейлевскими преобразованиями величине уц

можно придать любое (положительное) значение; таким обра­зом, она становится произвольной функцией времени. Это и объясняет» почему в гамильтониане связь р^п = 0 умножена на неопределенную функцию.

Пара канонически сопряженных величин (уи,р^и) не соот­ветствует никакой реальной степени свободы (уи произвольно, р^п должно быть равно нулю). Более того, эта пара не появ­ляется в выражениях для Ж или Ж\. Следовательно, эти вели-

Струна Намбу — Гото; классический анализ 12t

чины вместе с лагранжевым множителем р, можно просто опус­тить. Это не приведет к модификации уравнений движения для других вейль-инвариантных переменных.

Остающиеся связи Ж = 0, Ж_{ = 0, p_N = 0 и /v ⁼ ^ соот­ветствуют другой калибровочной инвариантности струны, а именно репараметризационной инвариантности. Из уравнений

(12.2.2.2)

следует, что N и N¹ являются произвольными, так как их можно изменять как угодно подходящим выбором А, и АЛ Этого и следовало ожидать, так как функции хода N и сдвига N¹ описывают рассечение двумерной поверхности эволюции стру­ны, которое получается при пересечении ее с поверхностями х = const (рис. 12.2). Поскольку это рассечение не является ка-либровочно-инвариантным в общековариантной теории, функ­ции, которые характеризуют это рассечение, не могут быть опре­делены из уравнений движений.

Кроме того, канонически сопряженные импульсы p_N и p_Nl

должны быть равны нулю, поэтому переменные фазового про­странства N, p_N, N^l и p_Nl не отвечают никаким физическим

степеням свободы. Эта ситуация очень похожа на ту, которая была с переменными -уи ^и Р^п- Тем не менее в данном случае нужно сохранить в действии переменные N и N\ так как они играют роль лагранжевых множителей и варьирование по ним приводит к условиям связи на супергамильтониан и суперим­пульс Ж —0 и Ж\=0. Следовательно, можно забыть только о переменных p_N, p_N1, Я и Я¹; тогда упрощенное действие при­нимает вид

\(\) (12.2.2.3)

= ^а (N2% + N^l3&_{). (12.2.2.4)

Легко установить, что уравнения движения, полученные из действия (12.2.2.3), полностью эквивалентны уравнениям, кото­рые следуют из действия Намбу — Гото.

Нельзя не указать на параллели между каноническими фор­мулировками двух теорий: струнной модели (с действием (12.2.2.3)) и теории Эйнштейна (см. работу Хансона и др. [13], а также цитируемую там литературу). В обоих случаях полу­чается, что гамильтониан равен нулю в слабом смысле и имеет структуру (12.2.2.4) с произвольными функциями хода и сдви­га. Эти функции умножаются на связи Ж = 0 и Ж\ = 0, кото­рые генерируют изменения канонических переменных при про­извольных деформациях линии (гиперповерхности) т == const-