78 Глава 8

более простой подход, основанный на исследовании четырехто­чечной амплитуды. В работе [68] это проделано для случая открытых струн.

Для полноты мы исследуем также гамильтониан в разложе­нии по модам. Рассмотрим гамильтониан (8.7), в котором h задано выражением (8.8). Чтобы выражение (8.7) стало сим­метричным по отношению к перестановке струн 1, 2 и 3, вста­вим в выражение (8.7) интеграл

J £>2₃Д¹⁷ B₃-S₁-S_a] = l. (8.12)

На данном этапе удобно переопределить переменные о с по­мощью масштабного преобразования, чтобы они стали пропор­циональными р+. Тогда в этих ьивых переменных длина стру­ны 3 совпадает с суммой длин струн 1 и 2, а дельта-функция в (8.12) означает просто, что в момент взаимодействия стру­ны 1 и 2 точно составляют струну' 3 или струна 3 распадается на струны 1 и 2, но так, что длины струн 1 и 2 не перекрываются. Ясно, что это естественное взаимодействие с точки зрения гео­метрии. К сожалению, в данном формализме имеется также оператор h (01,02), действующий в точке взаимодействия, кото­рый несколько затемняет чисто геометрическую картину рас­щепления струны. Явное интегрирование по всем высшим мо­дам является слишком трудной задачей. Вместо этого рассмот­рим выражение

Е = % J Щ т₂ DIq Л¹⁷ [2₃ — 2₂ — SJ ¥ [SJ ¥ [2₂] W [2₃]. (8.13)

Проведя разложение по модам для всех координат и проин­тегрировав по всем ненулевым модам, получим следующее формальное выражение:

Е = \\\ d*x_r d%6¹⁷ (z_x - z₂) б¹⁷ (z₂ - za) X

з

{_л(1)₍ „(2)₍ „(3)} r=l

где {/г⁽¹⁾}—сокращенная запись для бесконечного набора пара­метров {dp, ft^^r), т^{р, w^^(r)}, определенных в (7.24), и 2_Г =

~(х_Гу д_г). Это довольно громоздкое выражение, поэтому, чтобы избежать такого большого числа индексов, введем вектор в пространстве Фока:

V)= 2 С({п⁽¹⁾, /г⁽²⁾, n⁽³⁾})|rt⁽¹⁾, rt^f2), n^{3)). (8.15)

{/rfl>, „(2), «С" '

Полевая теория взаимодействующих суперструн типа Нб 79

Тогда взаимодействие трех определенных полей задается посредством выражения

(8.16)

где \N\, N2, N3} — вектор в пространстве Фока, а через N\_f N₂ и N₃ обозначены три набора целых чисел, задающих возбуж­денные уровни трех струн. Зная | У>, можно в принципе полу­чить исходное выражение для Е.

Нахождение ] V} путем прямых вычислений — утомительная задача. Более быстрый путь заключается в следующем. Заме­тим, что если подставить х¹_г(о)— х\ (а)— х[ (а) в подынтеграль­ное выражение (8.14), то из-за А-функционала получим нуль. Прослеживая путь от формулы (8.14) к (8.16), мы заключаем, что вектор \V} должен удовлетворять условиям

(*| (а) - х\ (а) - 4 Щ | V) = 0, (8.17)

(8? (а) - 9? (а) - 9? (а)) | V) = 0, (8.18)

а также соответствующим условиям, содержащим импульсы. Все перечисленные условия позволяют определить вектор \V} с точностью до некоторых общих множителей, которые не со­держат осцилляторов. Эти множители будут окончательно най­дены ниже. Если написать наиболее общее выражение для | V} в терминах операторов рождения и потребовать выполнения ус­ловий (8.17) и (8.18), то мы получим

V) = ехр'(Я_а + Е_в) | 0) б¹⁷ (zj - 4) б¹⁷ (zg - zj); (8.19) здесь нулевые моды г° = (х₀, 9о) и

г,

_{Z ^(а--+&{-^ - -г p2l}

r=l m

m = l J

_{= T Z Z У" t0-}

r=l m=l

80 Глава 8

где Q^]J.²_m определены выражением (7.20), а также введены сле дующие обозначения:

з

= ai — a₂ —-, С

_тп

Р'

д/™ „ ^тпа

na_r

^ rOi) ^{( }}

Теперь мы можем рассмотреть гамильтониан (8.7) с опера­тором ft(ai,cj2), заданным выражением (8.8). Используя встав­ку Д-функционала (8.12), приведем h к симметричной форме A(ai, O2, аз)- Повторяя путь от выражения (8.13) до (8.15), мы получим, что гамильтониану соответствует в фоковском про­странстве вектор

\H) = h(a_u o_2f o₃)|V>, (8.23)

где h выражено через осцилляторы. Если операторы, содержа­щиеся в h, прокоммутировать с экспонентой в | У), то получим

' ⁽⁸-²⁴⁾

d\ (а) | V) ^* -1 (a, - а)-"²Г | У), (8.25)

где Z¹' \V} и У^а | F> — векторы с конечной нормой.

Наконец, мы можем теперь вернуться к функциональному выражению, чтобы получить правильно нормированный трех­струнный гамильтониан в виде (8.7) и (8.8), где сделана замена

(о)-Wo, - о р'(о), (8.26)

и рассмотреть поведение всего выражения в пределе o^o_h

Дальнейшую проверку гамильтониана можно осуществить, рассматривая взаимодействия трех безмассовых частиц. Эти взаимодействия легче всего получить из вершинного вектора (8.23), вычисляя различные матричные элементы \Н} с тремя основными состояниями. Вместо этого можно принять, что о-+ 0, и, таким образом, воспроизвести точечные частицы в выраже­ниях (8.7) и (8.8). Можно показать, что полученные выражения соответствуют кубичным взаимодействиям в N = 2-суперграви-тации.