13.4.2. Вершинный оператор

В ковариантном формализме фундаментальную роль играют следующие две операторные функции [10, 38, 39]:

QA (е) = х* + 2а'р^АЪ + £ д/-^- (а* ехр - ш9 + а£ exp

^п>{ (13.4.2.1)

^{рА (6}) ^ ЪГ^Ж ^{= рА} + S V»'(- «*2 ^е^Р - inB + 'Шп ехр гяв).

^п>¹ (13.4.2.2)

Эти операторы часто представляют как функции комплексной переменной 2 = expie.

Функция Q^A{B) соответствует положению конечной точки струны а = 0 в момент "времени" 6 в конформной калибровке; функция Р^А(6) — двумерная изотропная компонента тока про­странственно-временных трансляций /^л(6). Выше мы уже встре­чались с этими функциями (например, отмечалось, что движение конечной точки <т = 0 полностью определяет классическую исто-

^]) В отсутствие состояний с отрицательной нормой состояния с нуле­вой нормой с необходимостью отщепляются, т. е. имеют нулевые скалярные произведения со всеми остальными физическими состояниями (в противном случае можно построить состояния с отрицательной нормой).

Квантование струны Намбу — Гото 195

рию струны; величина Р^А (6) связывалась с алгеброй Каца — Муди).

Операторы Q^A(9) и Р^Л(9) удовлетворяют соотношениям

[L_m, Q^A (9)] = - ie*^m*^, (13.4.2.3a)

[L_mf Р^А (9)1 = е"»° (-iJ*- _{+ m}}pA ₍в). (13.4.2.36)

Говорят, что Q^A (9) имеет конформный спин нуль, а Р^л(9)— конформный спин единица. В более общем виде любой опера­торной функции Х(9), такой, что

[L_m, X (6)1 = е'»* (- i-i- + m/) * (9), (13.4.2.4)

говорят, что она имеет конформный спин У.

Упражнение. Проверьте систему уравнений (13.4.2.3). Скалярный вершинный оператор определяется выражением

V_o (Jfe, 6) = :ехр ik_AQ^A (9):, (13.4.2.5)

где : : обозначает нормальное упорядочение, необходимое здесь, поскольку оператор HzaQ^a (®) плохо определен, за исклю­чением случая &² —0, когда нормальный порядок излишен. Легко получить

1/₀ (k, 9) = ехр (гв!₀) Vo (k) exp (- /9L₀), (13.4.2.6a)

где

V_Q (k) = exp (ik

_A

n— \

Va^j. (13.4.2.66)

Хотя <Э^Д(9) имеет конформный спин нуль, V₀(k,d) не обла­дает нулевым конформным спином благодаря нормальному упо­рядочению выражения (13.4.2.5). Вместо этого имеем

V₀(k, m = e^(-i-!L + na'k*)v,{k_y 9), (13.4.2.7)

т. е. Vo{k,Q) имеет конформный спин a'k².

Поперечный векторный вершинный оператор Уд(/г, 9), где k — изотропный вектор, задается выражением

*^aVa (К Щ = е^лР_л (Q) exp ikjfi^B (9), k² = 0. (13.4.2.8) Здесь вектор поляризации е⁴ поперечен (z^AkA =0).

196 Глава 13

Поперечность приводит к коммутативности величин е^АРл(в)

[k_BQ^B №), ъ^АР_А (в)] = 4ша'£_ле^л6 (в, в') = (13.4.2.9а)

= 0, (13.4.2.96)

в то время как условие k² = 0 делает излишним нормальное упорядочение экспоненты. Следовательно, конформный спин по­перечного векторного оператора равен единице:

[L_m> eW_A (A, 8)] = e'»e (_ i J- _{+ т}) _&лу_{А (kf 0);} (13.4.2.10)

величина г^лУ_А(Ь, 0) может быть расширена до полного вектор­ного вершинного оператора, но здесь это не понадобится (см., например, [38]).

Вершинные операторы существенны при обсуждении взаимо­действий в теории струн. Но поскольку исследование взаимо­действий выходит за рамки данного обзора, мы интересуемся вершинным оператором в другом контексте; поперечный вер­шинный оператор может использоваться для построения явно положительно нормируемых состояний Дель Гьюдиса, Ди Вег-гиа и Фубини (ДДФ), которые полностью покрывают физиче­ское подпространство, если не считать нулевых состояний.