12.2. Гамильтонов формализм

12.2.1. Связи

Вследствие калибровочной инвариантности действия в канони­ческом формализме появляются связи. Не все импульсы яв­ляются независимыми функциями скоростей. Как справиться с этой проблемой, не фиксируя калибровку, было показано Ди­раком в его работах [11], ставших теперь классическими.

Эта ситуация хорошо известна из электродинамики, где за­кон Гаусса в каноническом формализме возникает как связь, отвечающая калибровочной инвариантности. Оказывается, что соответствующий этой связи лагранжев множитель совпадает с полем Л о, которое в отсутствие калибровки является свобод­ным. Как известно, закон Гаусса играет существенную роль. Он обеспечивает калибровочную инвариантность квантовой тео­рии. Поэтому в любом подходе к квантовой теории этот закон должен включаться тем или иным способом. В противополож­ность этому калибровочные условия (кулоновская калибровка, временная калибровка, лоренцева калибровка и т. д.) являются менее фундаментальными, так как в их выборе существует произвол. Калибровочные условия можно выбирать разные, а закон Гаусса только один.

Главной целью этого раздела является исследование усло­вий Вирасоро, которые появляются в канонической формули­ровке струнной теории; мы хотим подчеркнуть, что эти условия аналогичны закону Гаусса и не имеют отношения к калибро­вочным условиям. Точнее, эти условия следуют непосредственно из репараметризационной инвариантности действия струны. Та­ким образом, они играют фундаментальную роль в теории. От­крытие принципа действия (12.1.1.6), который воспроизводит все условия Вирасоро, было в действительности большим до­стижением [1, 2, 12].

Чтобы в полной мере показать значение "условий Вирасо­ро", нужно сохранить все калибровочные симметрии действия и применить метод Дирака [11, 13]. Так как детальное иссле­дование действия Намбу—Гото в гамильтоновом формализме достаточно хорошо представлено в литературе [10, 13], мы

Струна Намбу—Гото: классический анализ

б- const

Рис. 12.2. Вектор д/дх можно разложить по базису {п, д/до}.

возьмем в качестве исходной точки квадратичное действие-(12.1.2.1).

Нетрудно найти канонический импульс

dX^J

(12.2.1.1)

pap —

(12.2.1.2)

Уравнения ф^а^ = р^ар — 0 называются первичными связями.

Они являются следствием того, что в действии отсутствует ки­нетический член для метрики.

Следующий шаг в методе Дирака — получение гамильто­ниана

= \

₊

- 2) da

- 9?) do; (12.2.1.3)

последнее выражение нужно переписать в терминах только ка­нонических переменных. Это нетрудно сделать, так как выра­жение (12.2.1.3) представляет собой обычный гамильтониан для d скалярных полей на искривленном фоне.

Для упрощения уравнений, а также для того, чтобы вос­пользоваться вейлевской инвариантностью, компоненты метрики удобно представить в терминах "функции хода" и "функции сдвига" (рис. 12.2). С этой целью разложим вектор д/д%, каса­тельный к кривым а = const (т. е. х-координатным линиям) по* базису (л, д/до). Здесь п — нормированный вектор, перпендику-

118 Глава 12

лярный к кривым т = const:

(12,2.1.4)

а д/да — касательный вектор к кривым т = const¹).

Функции хода N и сдвига N¹ определяются по формулам

д/дх = N Vy » + N^ld/do, (12.2.1.5)

где у — детерминант пространственной (одномерной!) метрики 7iь индуцированной на кривых т — const²).

Ниже все величины, не имеющие верхнего индекса (2), мы будем систематически считать одномерными. Например, 7^й — обратная величина одномерной метрики: 7¹¹ ~ Vvn; ^{она не} должна совпадать, если N¹ Ф О, с величиной ⁽²⁾7^П> которая опре­деляется из соотношения ^{2)у^а$у$_а~§а (хотя ⁽²⁾7ii==7ib по­этому для 7п верхний индекс (2) не нужен). Все величины бу­дут одномерно ковариантными. Напомним, что в одномерии плотность веса один есть ковектор и т. д. (для инфинитезималь-ных координатных преобразований).

Легко вывести следующие полезные соотношения, которые -позволяют переходить от (N, N¹, у и) к у_а$ и обратно:

(12.2.1.6а) (12.2.1.66)

(12.2.1.6b) (I2.2.1.6r)

⁽²⁾ⁿ Yⁿ^f- (12.2.1-бд)

Соотношения (12.2.1.6) означают, что замена переменных Yap—*"Л^, N\ Yii обратима; таким образом, величины N, N\ -уи можно считать новыми независимыми переменными.

Преимущество использования функции сдвига N (которая имеет вес —1) вместо более привычной функции a — Ny со­стоит в том, что N является вейль-инвариантной величиной, так же как NK Следовательно, единственная переменная, кото­рая не является вейль-инвариантной, это ун» причем предпола­гается, что она выпадает из окончательных выражений вслед­ствие вейлевской инвариантности.

*) Вектор д/да имеет d пространственно-временных компонент дХ^А/до; аналогично (dfdi)^A = дХ^А/дт. Отметим, что п, конечно, берется касательным к поверхности, заметаемой струной.

²) Формулы (12.2.1.5) эквивалентны соотношению дХ^А/дх —Ny\n^A + ~f- N^ldX^A/do в терминах пространственно-временных компонент.

Струна Намбу — Гото: классический анализ

В самом деле, после стандартных преобразований гамиль­тониан (12.2.1.3) принимает вид

Н = $ {МЖ + N^lM_{) do, (12.2.1.7)«

где

( 12.2.1.8а)

(12.2.1.86)

Коэффициент Ж перед функцией хода в гамильтониане ра­вен плотности энергии скалярных полей в системе отсчета, дви­жущейся со скоростью п (а именно Ж = уТ_а$п^апР). Эта плот­ность имеет вес 2 и иногда называется супергамильтонианом по аналогии с гравитацией (обсуждение гамильтоновой формы уравнений Эйнштейна см._в работе [13]).

Функция Ж\ равна Vy T_lan^a; иногда ее называют суперим­пульсом. Это векторная плотность веса 1.

Уравнения движения по Дираку [11] генерируются полным гамильтонианом, получаемым из Н добавлением к нему пер­вичных связей с лагранжевыми множителями:

И_т = Н + \ {Xp_N + Vp_Nl + ixpj do. (12.2.1.9)

Чтобы установить, являются ли множители Лагранжа про­извольными функциями от а и т или определяются из теории, мы должны теперь исследовать "условия непротиворечивости".

Требование, чтобы первичные связи p_N ^ 0, p_N, «* 0, р_уи ^ О (эквивалентные уравнению (12.2.1.2)) сохранялись во времени, приводит к следующим условиям:

~О, (12.2.1.10а)'

«0, (12.2.1.106)

р « 0, других условий нет (Я не содержит у_и). (12.2.1.10в)

Новые "вторичные" связи ^ = 0 и Ж\=0 означают просто,, что все компоненты тензора энергии-импульса Г_ар(Х) равны нулю (условия (12.1.2.4)). Как и в общей теории относитель­ности, гамильтониан (12.2.1.9) оказывается равным нулю в сла­бом смысле.

Легко проверить, что Ж и Ж\ коммутируют со всеми пер­вичными Связями. Кроме того, как мы уже указывали и: как мы покажем явными вычислениями в разд. 12.3, они,:

120 Глава 12

удовлетворяют конформной алгебре:

\diD (о), <яо \о )] = \у&\ (о) -р o\d\ (о))6 \о, cf), \12.2.1.11a)

о'), (12.2.1.116) (12.2.1.Ub)

(подразумевается, что Х-⁴ (а) и ^л (а⁷) удовлетворяют канони­ческим скобкам Пуассона). Следовательно, вторичные связи

сохраняются во времени (Ж « 0, ^_t « 0). На этом исследова­ние "условий непротиворечивости" закончено. Мы нашли все связи в теории, это связи "первого класса" [11]; множители Лагранжа в выражении (12.2.1.9) не определяются.

Упражнение. Выведите соотношения (12.2.1.6).