Глава 10

способом. Непротиворечивость решений Калаби—Яу подверга­лась сомнениям, но я считаю, что нужно дождаться окончатель­ного построения квантовой теории, и только после этого мы сможем полностью понять механизм компактификации.

Феноменология, основанная на решениях Калаби — Яу, рас­сматривалась Виттеном [76]; возможно, она является вполне перспективной. Такая феноменология приводит к четырехмер­ной теории с группой Е₆ X Е₈\ £б-часть четырехмерного мира это некая новая Теория великого объединения (ТВО), основан­ная на группе Е₆. Она обладает всеми теми хорошими свой­ствами, которые были характерны для старой вполне удовлетво­рительной ТВО, также основанной на группе Е&. Но юкавские связи в новой ТВО существенно отличаются от проблематич­ных юкавских связей в старой ТВО. Часть четырехмерной тео­рии с группой £s можно считать теневым миром, поскольку она взаимодействует с £_б-частью только через гравитационные ■силы. Совершенно нетривиально, что возникает такая перспек­тивная феноменология. В этой области еще многое нужно сде­лать, и только после полного понимания квантовой теории можно будет дать окончательные заключения.

Если теория струн действительно окажется такой успешной теорией, как я надеюсь, она должна будет прояснить некоторые фундаментальные физические проблемы, а также оказать влия­ние на другие области физики. А именно:

1. Теория струн должна объяснить, почему космологическая постоянная равна нулю. По-видимому, нет никакой возможно­ сти объяснить этот факт в рамках обычной физики. Здесь на­ дежды связаны с тем, что симметрия общей ковариантности в теории струн окажется столь большой, что даже при тех энер­ гиях, которые доступны для исследования сегодня, какая-то часть этой симметрии останется и приведет к требованию нуле­ вой космологической постоянной.

2. Теория струн должна иметь важные следствия в космоло­ гии. Мы уже упоминали о возможности существования теневого мира. Кроме того, на очень ранних этапах своего развития Все­ ленная должна подчиняться законам струнной физики. Теория струн должна также влиять и на более поздние этапы, и здесь важно отметить, что теория струн не нарушает красоты стан­ дартной космологической модели.

3. Теория струн должна оказывать воздействие на гравита­ цию при малых масштабах. Теория струн имеет гораздо более гладкое высокоэнергетическое поведение, чем обычная гравита­ ция, а это должно привести к изменениям в физике черных дыр. Очень вероятно, что изменится структура сингулярностей, и воз­ можно, что шварцшильдовская сингулярность исчезнет.

Дальнейшие перспективы 89»

Всего несколько лет назад вся представленная здесь про­грамма казалась бы слишком надуманной. Теперь я думаю, что это реалистическая программа, и надеюсь, что развитие фун­даментальной физики пойдет этими путями. Уже несколько раз в прошлом ученые считали, что физика в основном завершена. Сегодня мы снова находимся на таком этапе. Будущее обяза­тельно принесет нам сюрпризы, тем не менее я убежден, что струнная физика приведет нас к единой фундаментальной кар­тине мира.

Приложение Некоторые обозначения и формулы

Алгебра группы SO (8) имеет три неэквивалентные веществен­ные восьмимерные представления: одно векторное и два спи-норных. Для векторного представления мы используем индексы I,/, ...; индексы а, Ъ, ... соответствуют первому спинорному представлению, а индексы а, 6, ... — второму спинорному пред­ставлению. Все перечисленные индексы пробегают значения от 1 до 8. Матрицы Дирака у^г_ай можно считать коэффициентами

Клебша — Гордана, с помощью которых из трех различных представлений можно образовать синглет. Используется также второй набор матриц у¹_йа. Мы выбираем их следующим образом;

_{y + д/ yi .=2д"д ..}

аа¹аЬ ^таа'ab ah

^(П.2)

^{Тогда матрицы 16X16}

_О

^{образуют алгебру Клиффорда. Определим также матрицы}

Мы видим, что с учетом соотношения (П.1) эти матрицы яв­ляются антисимметричными по индексам а и Ь, Мы также мо­жем определить матрицы

_YW = -i- (У y' • — Y'' Y⁽' X (П.4)

которые по тем же причинам антисимметричны по индексам а и б.

Некоторые обозначения и формулы 9Е

Чтобы иметь полное матричное пространство размерности 8X8» введем также матрицы

^_4g. (^П-⁶>

Эти матрицы симметричны.

Общая формула для преобразования Фирца имеет вид

^бtr М 16 Y& ^tr (Y"M) + Ш У%" tr W'M). (П.7>

Шестимерное векторное представление группы SU(4) можно получить как антисимметричное тензорное произведение двух

спинорных представлений 4s и 4s. Соответствующие коэффи­циенты Клебша — Гордана (или матрицы Дирака) обозначим 9^!ав и р^1АВ, Они нормируются, как обычно:

9^iab9^jbc + 9^м3?¹ вс = 2б"б^л_с. (П.8)

^{Литература}

1. Regge Г., Nuovo Cimento, 14, 951 (1959); 18, 947 (1960).

2. Dolen R., Horn D., Schmid C, Phys. Rev., 166, 1768 (1968).

3. Veneziano G., Nuovo Cimento, 57A, 190 (1968).

4. Virasoro M. A., Phys. Rev., DI, 2933 (1970).

5. Brower R. C, Phys. Rev., D6, 1655 (1972); Goddard P., Thorn С. В., Phys. Lett., 40B, 235 (1972).

6. Nambu Y. — In: Proc. Int. Conf. on Symm. and Quark Models, Wayne State Univ. 1969, Gordon and Breach, London, 1970;

Nielsen H. B._t частное сообщение, 1969;

15th International Conference on High Energy Physics, Kiev, 1970;

Susskind L., Phys. Rev., Dl, 1182 (1970).

7. Ramond P. M., Phys. Rev., D3, 2415 (1971).

8. Neveu A, Schwarz /. Я., Nucl. Phys., B31, 86 (1971); Phys. Rev., D4, 1109 (1971).

9. Brink L, Olive D. I., Rebbi C, Scherk /., Phys. Lett., 45B, 379 (1973).

10. Goddard P., Goldstone I., Rebbi C._t Thorn С. В., Nucl. Phys., 56, 109 (1973).

11. Nambu У., Lectures at Copenhagen Symposium, 1970.

12. Hara O., Prog. Theor. Phys., 46, 1549 (1971); Goto T._y Prog. Theor. Phys., 46, 1560 (1971).

13. Brink L., Nielsen H. В., Phys. Lett. 45B, 332 (1973).

14. Polyakov A. M., Phys. Lett. 103B, 207, 211 (1981).

15. Brink L., Di Vecchia P., Howe P. S., Phys. Lett. 65B, 471 (1976); Deser 5., Zumino В., Phys. Lett., 65B, 369 (1976).

16. Gervais J.-L._t Sakita В., Nucl. Phys., B34, 632 (1971).

17. Ademollo Л1, Brink L., D'Adda Д., D'Auria R., Napolitano £., Sciuto 5., Del Giudice £., Di Vecchia P., Ferrara S., Gliozzi F., Musto R., Petto- rino R., Phys. Lett, 62B, 105 (1976).

18. Ademollo M., Brink L., D'Adda A., D'Auria R._t Napolitano E., Sciuto S._t Del Giudice £., Di Vecchia P., Ferrara S._y Gliozzi /\, Musto R._f Petto- rino #., Schwarz I. #., Nucl. Phys., Bill, 77 (1976).

19. Lovelace C, Phys. Lett., 34B, 500 (1970).

20. Nielsen H. В., Olesen P., Nucl. Phys., B57, 367 (1973).

21. Neveu A., Scherk /., Nucl. Phys., B36, 155 (1972).

22. Yoneya Т., Prog. Theor. Phys., 51, 1907 (1974).

23. Scherk /., Schwarz I. H._y Nucl. Phys., B81, 118 (1974).

24. Gliozzi F., Scherk /., Olive D. /., Phys. Lett., 65B, 282 (1976); Nucl. Phys., B122, 253 (1977).

25. Green M. В., Schwarz /. H., Nucl. Phys., B181, 502 (1981).

26. Schwarz I. H._t Phys. Rep., 89, 223 (1982);

Green M. B,, Surveys in High Energy Physics, 3, 127 (1983);

Brink L. — In: Supersymmetry (K- Dietz, R. Flume, G. Gehlen, V. Ritten-

berg, eds.), Plenum Press, New York, 1984, p. 89.

27. Alvarez-Gaume L, Witten £., Nucl. Phys. B234, 269 (1983).

Литература 93

28. Green М. В., Schwarz I. #., Phys. Lett, 149B, 117 (1984); Nucl. Phys, B255, 93 (1985).

29. Marcus N._t Sagnotti A., Phys. Lett., 119B, 97 (1982).

30. Gross D. /., Harvey J. A., Martinec E., Rohm R., Phys. Rev. Lett., 54, 502 (1985); Nucl. Phys., B256, 253 (1985). Princeton preprint, 1985.

31. Goroff M., Sagnotti A., Phys. Lett., 160B, 81 (1985).

32. Howe P. S., Lindstrom £/., Nucl. Phys., B181, 487 (1981); Kallosh R. E._t Phys. Lett, 99B, 122 (1981).

33. Zumino В., не опубликовано.

34. Proceedings from the Workshop on Uniflied String Theories, Santa Bar­ bara, 1985 (M. B. Green, D., J. Gross, eds.), World Scientific Publishing Company, Singapore, 1985.

35. Dirac P. A. M._f Can. J. Math., 2, 129 (1950).

36. Weis J. H._t не опубликовано.

37. Gliozzi F._t не опубликовано.

38. Zumino В. — In: Renormalization and Invariance in Quantum Field Theory (E. Caianiello, ed.), Plenum Press, New York, 1974, pp. 367, 383.

39. Brink L., Winnberg J.-O., Nucl. Phys., B103, 445 (1976).

40. Green M. В., Schwarz J. H., Phys. Lett., 109B, 444 (1982).

41. Green M. В., Schwarz J. H., Nucl. Phys., B181, 502 (1981).

42. Brink L, Lindgren O., Nilsson B. E. W., Nucl. Phys., B212, 401 (1983).

43. Chan Hong-Mo, Paton J., Nucl. Phys., B10, 519 (1969).

44. Schwarz J. H., Phys. Rep., 89, 233 (1982).

45. Green M. В., Schwarz J. #., Phys. Lett, 136B, 367 (1984).

46. Bengtsson /., Cederwall M., ITP-Goteborg, 84—21 (1984).

47. Siegel W., UCB-PTH-83/22 (1983).

48. Gremmer E., Scherk /., Nucl. Phys., B103, 399 (1976);

Green M. В., Schwarz J. H._t Brink L, Nucl. Phys., B198, 474 (1982).

49. Goddard P., Olive D. — In: Vertex Operators in Mathematics and Physics (J. Lepowski et al., eds.), MSRI Publication No. 3, p. 51, Springer, Hei­ delberg, 1984.

50. Frenkel 1. В., Кае V. G., Invent. Math., 62, 23 (1980); Segal G._t Commun. Math. Phys., 80, 301 (1981); Goddard P., Olive D. (см. 49).

51. Casalbuoni R., Gomis I., Longhi G., Nuovo Cimento, 24A, 249 (1974).

52. Mandelstam S. — In: Recent Development in Quantum Field Theory (J. Ambjorn, B. J. Duurhuus, J. L. Petersen, eds.), North-Holland, Amster­ dam, 1985, p. 251.

53. Fubini S., Veneziano G., Nuovo Cimento, 67A, 29 (1970).

54. Koba Z., Nielsen В., Nucl. Phys., B10, 633 (1969).

55. Chan Hong-Mo, Tsun T. S., Phys. Lett., 28B, 485 (1969).

56. Alessandrini V., Amati D., LeBellac M., Olive £>., Phys. Rep., 1С. No. 6 (1971).

57. Brink L._t Olive D., Nucl. Phys., B58, 237 (1973).

58. Kato M._} Ogawa K., Nucl. Phys., B212, 443 (1983); Hwang S., Phys. Rev., D28, 2614 (1983).

59. Bengtsson /., Classical and Quantum¹ Gravity, 3, L31 (1986).

60. Lovelace C, Phys. Lett, 32 B, 703, (1970); Alessandrini V._t Nuovo Cimento, 2A, 321 (1971); Alessandrini V., Amati D., Nuovo Cimento, 4A, 793 (1971).

61. Fairlie D. В., Martin D., Nuovo Cimento, 18A, 373 (1973).

62. Corrigan E., Olive D., Nuovo Cimento, 11A, 749 (1972).

63. Corrigan E. F., Goddard P,. Smith R. A., Olive /X, Nucl. Phys., B67, 477 (1973).

64. Green M. В., Schwarz J. H., Nucl. Phys., R198, 252 (1982).

65. Green M. В., Schwarz /. H., Nucl. Phys., B198, 441 (1982).

94 Литература

66. Green М. В., Schwarz J. #., Brink L, Nucl. Phys., B219, 437 (1983).

67. Bengtsson A. K. #., Brink L., Cederwall M._t Ogren M., Nucl. Phys., B254, 625 (1985)

68. Green M. B._t Schwarz J. H., Nucl. Phys., B243, 475 (1984).

69. Dirac P. A. M., Rev. Mod. Phys., 26, 392 (1949).

70. Brink L., Cederwall M., Green M. В., Nucl. Phys., B293, 114 (1987).

71. Mandelstam S. — In: Proceedings from the Workshop on Unified String Theories, Santa Barbara, 1985 (M. B. Green, D. J. Gross, eds.), World Scientific Publishing Company, Singapore, 1985, p. 46.

72. Green M. В., Schwarz J. H., Phys. Lett., 151B, 21 (1985).

73. Siegel W., Phys. Lett.. 151B, 391; 396 (1985);

Siegel W., Zweibach B._} Nucl. Phys., B263, 105 (1986);

Banks Г., Peskin M., SLAC preprint, 1985;

Itoh K., Kugo Т., Kunitomo H., Ooguri H._t Prog. Theor. Phys., 75, 162

(1986);

Neveu A., West P., CERN preprints, 1985;

Friedan D., University of Chicago preprints, 1985.

74. Candelas P., Horowitz G. Т., Strominger A., Witt en E., Nucl. Phys., B258, 46 (1985).

75. Calabi E. — In: Algebraic Geometry and Topology: A Symposium in Honor of S. Lefschetz, Princeton University Press, 1957, p. 78;

Yau S.-T., Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 74, 1798 (1977).

76. Witten E., Nucl. Phys., B258, 75 (1985).