13.4.3. Состояния ддф

Мы ожидаем, что при d = 26 и а₀ = 1 физическое простран­ство изоморфно пространству поперечных возбуждений, не счи­тая нулевых состояний, которые могут быть отфакторизованы. Для первых двух уровней мы проверили это свойство явно в разд. 13.4.1.

Чтобы доказать это свойство для всех уровней, необходимо уточнить, что понимается под термином "поперечные состояния" в ковариантном формализме. В калибровке светового конуса поперечные состояния — это просто состояния, порождаемые поперечными осцилляторами а^{_п. В данном же случае это опре­деление не может быть принято, поскольку операторы а¹_п не коммутируют с операторами Вирасоро:

К*. ^_т]Ф0 (13.4.3.1)

и, следовательно, даже не рождают из вакуума физических со­стояний. В частности, оператор a*J увеличивает номер уровня

на п единиц, но при этом не изменяет ^-импульс, так, что со­стояние остается на массовой поверхности (\a*J, p^A\ = 0).

Квантование струны Намбу — Гото 197

Необходимо определить операторы А¹_п> которые коммути­руют с L_m:

[^Лп> ^Lm]=°> (13.4.3.2)

и в калибровке светового конуса сводятся классически к опе-

раторам а¹_п;

(13.4.3.3)

•т

так что они могут быть названы "поперечными". Здесь калибровочные условия светового конуса.

Общее свойство гамильтоновых систем первого рода со свя­зями состоит в том, что подобная проблема всегда имеет реше­ние, по крайней мере тогда, когда равенство в (13.4.3.2) заме­няется "слабым" равенством (равенством на связях L_m = 0).

Вместо того, чтобы использовать стандартные методы на­хождения этого решения, Дель Гьюдис и др. [40] построили

операторы А_п с помощью векторного вершинного оператора. Их конструкция основана на том факте, что операторная функция е^аУа(Ь,&) периодична по 6 с периодом 2л, если рассматри­ваются лишь состояния с импульсом р^л, удовлетворяющим со­отношению

2а'&₄ ■ р^А — целому числу. (13.4.3.4)

При выполнении этого условия оказывается, что

2я

= 0, (13.4.3.5)

L_mt s^AV_A(k, Q)dQ

^J

о

поскольку Va имеет конформный спин 1.

Выберем основное состояние |0, /?₀>, ^-импульс которого удовлетворяет условию массовой поверхности

^а'РоР_ОА=1 (13.4.3.6)

с р£ фиксированным раз и навсегда.

Чтобы удовлетворить условию (13.4.3.4), выберем далее, снова раз и навсегда, изотропный вектор £₀, для которого вы­полняются условия

k*k_M = O_f 2<fk*p_OA=\. (13.4.3.7)

Для заданных р₀ и ko допустимы лишь значения вектора к, пропорциональные &₀:

k^A = nkt (13.4.3.8)

Например, если выбрать р₀ = (О, 0, ..., 0, l/д/а') и k = = (—l/V^o⁷» 0, 0, ..., 1/2 д/а⁷)» ^то поперечный вектор г_А

198 Глава 13

принимает вид (0, е*, 0). Заметим, что другой выбор k нарушает явную лоренцеву инвариантность.

Из условия (13.4.3.5) следует, что операторы

A_ni = ^ V_t (nk_Qy 9) dB — (13.4.3.9)

о

(13.4.3.10)

коммутируют с L_m при любых п. Это и есть операторы ДДФ.

Если в классическом аналоге оператора (13.4.3.10) поло­жить а+ = 0 (световое калибровочное условие)¹), то получим

Q+ (9) = V2c?e, (13.4.3.11а)

Величины A_ni удовлетворяют соотношению (13.4.3.3) (с точ­ностью до множителя у п). Легко проверить, что

Ki = ^A-nv (13.4.3.12)

Можно также вывести коммутационные соотношения (см., на­пример, [38])

[А*_т, A^fn] = mb^l!'д_т, -и, (13.4.3.13)

откуда следует, что 24 поперечных оператора "рождения"

А*п (п > 0) генерируют положительно определенное гильбертово подпространство. Это подпространство изоморфно гильбертову пространству, возникающему при квантовании в световой ка­либровке.

Упражнение. Вычислите [Р , А¹п\ и проверьте явно, что An рождает состояния на массовой поверхности (при действии на такие состояния).

13,4.4. Теорема об отсутствии духов при d = 26 и cto = 1

При действии операторов А_п на вакуум возникают состояния ДДФ. Они удовлетворяют уравнениям

VC« I -Ф> = 0, п>0, (13.4.4.1)

¹) Условие а* = 0 не может рассматриваться как операторное уравнение в ковариантном формализме. Поэтому мы и вернулись к классической теории.

Квантование струны Намбу — Гото 199

вместе с условиями на физические состояния

1_й1Ч>> = 0, п>0, (13.4.4.2)

(L_o- 1)| -ф> = 0. (13.4.4.3)

Оператор Кп в уравнении (13.4.4.1) является изотропным:

Кп = kAa>n~an (ai = ^nan и т. д.). (13.4.4.4)

Свойство (13.4.4.1) просто следует из того факта, что состоя­ния ДДФ не содержат осцилляторов аи и а« *•

Операторы К_п обладают следующими свойствами:

(13.4.4.5)

Можно показать обратное: уравнения (13.4.4.1) — (13.4.4.3) полностью характеризуют состояния ДДФ — любое решение этих уравнений есть линейная комбинация состояний вида

Иногда удобно рассматривать не только состояния на мас­совой поверхности, но также состояния, лежащие вне массовой поверхности "на расстоянии", равном целому числу:

(L_o + /—1) !</>) = 0, где / — целое число. (13.4.4.6)

Такие состояния могут быть получены действием ДДФ-опера-торов на такое основное состояние, которое не удовлетворяет условию (L_o—1)|0>=0, а вместо этого имеет импульс, равный

$ (13.4.4.7)

где п — целое число.

Впоследствии мы будем рассматривать лишь состояния с им­пульсом, определяемым выражением (13.4.4.7) при некотором п. Эти состояния удовлетворяют условию (13.4.4.6). Легко ви­деть, что при действии операторов ДДФ, операторов Вирасоро или операторов К_п на состояние (13.4.4.7) мы не выходим за рамки класса, определяемого системой (13.4.4.7) и (13.4.4.6). Кроме того, импульс любого решения уравнения (13.4.4.6) при / ^ 1 путем соответствующего преобразования Лоренца может быть представлен в виде (13.4.4.7) с п <С 0.

Операторы ДДФ являются подходящим расширением попе­речных осцилляторов а¹_п. Операторы К_п в точности совпадают с изотропными осцилляторами а+. Кроме того, поскольку p.k=£O, вектор р^А содержит компоненту вдоль направления, противоположного изотропному, а это означает, что в первый член L_n входит а~.

200 Глава 13

Таким образом, не удивительно, что состояния, рождаемые

из вакуума операторами A^l_p*_t К__п и L__m (n, m, р>>0), пол­ностью покрывают гильбертово пространство.

Лемма [18]. Любое состояние с импульсом (13.4.4.7) может быть представлено как линейная комбинация состояний вида

L^k_\L%. ..LtⁿX_\.. Ж^_т\ d), (13.4.4.8)

где \d) — состояние, рождаемое операторами ДДФ из вакуума с импульсом (13.4.4.7) (возможно, с другим п).

Доказательство [18]. Из вычислительных соображений до­казательство состоит в установлении линейной независимости состояний (13.4.4.8).

Нулевое фиктивное состояние по определению есть физиче­ское состояние, ортогональное всем другим физическим состоя­ниям и, в частности, самому себе. Мы обнаружили такие со­стояния на первых двух уровнях (для d = 26 и а_о=1). Как показывает теорема об отсутствии духов, они появляются на всех уровнях.

Теорема об отсутствии духов (ot₀ = 1, d — 26) [18]. Любое физическое состояние |i|)>, являющееся решением уравнений /,_л|ф>=0 (п > 0) и (Lq—1) |i|)> = 0, может быть представлено в виде

=! f) + |«5>, (13.4.4.9)

где |f> принадлежит пространству, покрываемому ДДФ-состоя-ниями, a \ns} — нулевое фиктивное состояние.

Доказательство. Предыдущая лемма позволяет записать

1+> = 1*> + М>, (13.4.4.10)

где |^> — состояние (13.4.4.8) с X] = Х₂ = ... =k_n = 0 (входят только операторы К-_п> если вообще входят), a |s> — состояние (13.4.4.8) по крайней мере с одним L__rt. Поскольку (L_o — — l)|iJ))=0, оба состояния |^> и |s>, являющиеся независи­мыми, принадлежат массовой поверхности.

Ключевой момент доказательства состоит в том, чтобы пока­зать, что |^>> и |s> — физические состояния:

L_n\<]>) = 0 = L_n\s), n>0. (13.4.4.11)

Величины L_n с положительными п генерируются из L\ и L_2y поэтому достаточно показать, что L] \ф} = Ь₂\ф} = L_x |s> = = L₂1 s> = 0, или, что то же самое, L_A \ ф Г1 ^ ^ 1

Квантование струны Намбу — Гото 201

L₂|s> — 0. Здесь L₂ определяется выражением

L₂ = L₂+-jL²i. (13.4.4.12)

По построению имеем

(13.4.4.13)

поскольку L~_n (nZzzl) генерируются из L-\ и L-₂. Кроме того, из алгебры L_n следует, что

= 0, L₀\s__])=-\s__]). (13.4.4.14)

Отсюда получаем

(13.4.4.15а) Z₂| 5) = | s"> + (у d - 13) | ₅_!>, (13.4.4.156)

где |s'> и |s">— состояния вида (13.4.4.8) по крайней мере с одним L_n- (Например, |s'> = L_iLi|s_o> + £-2£i|s-i>.) Для flf = 26 второй член в правой части уравнения (13.4.4.156) исче­зает, и L₂\s} сводится к |s">.

Но ^lj^») и Е₂\ф} — состояния вида (13.4.4.8) вообще без L-n. Действительно, L] и L₂ можно перемещать вправо от опе­раторов К~т в выражении для |<£>, не порождая при этом L-_n( [L_n, Km] ~ Кп+т) до тех пор, пока Li и L₂ не достигнут со­стояния \d} и не уничтожат его.

Из этого замечания и линейной независимости состояний (13.4.4.8) с различными степенными показателями следует, что Li\s} n Li\<j>} линейно независимы, как и L₂\s) и L₂\<f>}. Однако, поскольку L] |ij)> = £₂|'ф>=0, из уравнения (13.4.4.10) следует, что |^> и \s} удовлетворяют тем же уравнениям. Отсюда выте­кает соотношение (13.4.4.11).

Зная теперь, что |^»> и |s> являются физическими состояния­ми, легко непосредственно довести до конца доказательство теоремы. Состояние |</>> удовлетворяет соотношению Кп\ф)=0, поскольку операторы К_п коммутируют. Следовательно, оно яв­ляется состоянием ДДФ, поскольку последние полностью ха­рактеризуются уравнениями (13.4.4.1), (13.4.4.2) и (13.4.4.3) [18]. (Иными словами, в выражении (13.4.4.8) для |</>> все \ц и %i равны нулю.) Кроме того, вследствие уравнения (13.4.4.13) состояние |5> является физическим состоянием, которое отщеп­ляется от всех физических состояний:

=O и т. д.;

следовательно, оно действительно является нулевым фиктивным состоянием.

202 Глава 13

Поскольку подпространство ДДФ обладает положительна определенным внутренним произведением, из этой теоремы сле­дует, что <г|)|^> ^ 0.

Упражнение. Докажите соотношения (13.4.4.15а) и (13.4.4.156).

13.4.5. Квантовая калибровочная инвариантность

Теорема об отсутствии духов устанавливает, что фактор-про­странство физического подпространства по нулевым фиктив­ным состояниям изоморфно гильбертову пространству, содержа­щему только поперечные возбуждения. Следовательно, метод ка­либровки светового конуса и ковариантный метод эквивалентны.

Дополнение физических состояний нулевыми фиктивными состояниями есть квантовый аналог калибровочной инвариант­ности классической теории. Оно подразумевает возможность полной формулировки квантовой теории в терминах одних лишь состояний ДДФ, или, что эквивалентно с точки зрения изомор­физма между состояниями ДДФ и состояниями метода сзето-вой калибровки, возможность наложения калибровки светового конуса квантовомеханически.

Этот результат имеет место только при d = 26 и а₀ = 1. При d ^ 25 и а₀ ^ 1 физическое подпространство все еще положи­тельно определено, но оно не содержит достаточного количества нулевых фиктивных состояний. Состояния ДДФ больше не ха­рактеризуют полностью физическое подпространство. В резуль­тате квантовая теория обладает большим числом степеней сво­боды, чем классическая теория. Условий L_n\ty}—0 (n > 0) и (L_o—l)|aj)>—0 не достаточно, чтобы обеспечить полную репа-раметризационную инвариантность на квантовом уровне.

Таким образом, мы видим, что, несмотря на то, что для дру­гих значений размерности пространства-времени и интерсепта духи могут отсутствовать, критические значения с? = 26 и а₀— 1 представляют собой особый случай.

Следует отметить, что нулевые физические состояния \ns} ковариантного подхода фактически являются не чем иным, как особыми нулевыми состояниями Q\%) БРСТ-подхода. Действи­тельно, выше мы подчеркнули, что БРСТ-калибровочные условия c_n|0>=^rt|0>=0 (вакуум БРСТ-духов) допускают остаточную "калибровочную группу" |г|?>-Н^>+ Q|x) ^c подходящими век­торами |х>. Эти остаточные преобразования соответствуют до­бавлению нулевых фиктивных состояний. Как было упомянуто, для полной фиксации БРСТ-калибровки необходимо потребо-

Квантование струны Намбу — Гото 203

вать, чтобы состояния |Pi> и |Р₂> в решении (13.2.6.18) были поперечными, а именно состояниями ДДФ.

Заметим, наконец, что лоренцева инвариантность в ковари-антном подходе является явной, поскольку ковариантные лорен-цевы генераторы удовлетворяют соотношениям алгебры Лорен­ца и коммутируют с L_n-

Но состояния ДДФ не являются явно лоренц-инвариантными, так как для их определения необходимо выделять определенный

й?-ве[<:тор &о. Поэтому ковариантные лоренцевы генераторы не отображают ДДФ-подпространство на себя; вместо этого они также порождают неисчезающие нулевые состояния. Можно определить "улучшенные" лоренцевы генераторы, действие ко­торых не приводит к этим нулевым состояниям. Эти генераторы, полностью определенные в ДДФ-подпространстве, являются в точности лоренцевыми генераторами метода световой калиб­ровки (где а_п-> Л¹_п).

Упражнение. Теорема об отсутствии духов при d ^ 25,

= I-

а. Покажите, что физическое подпространство при d ^ 25, = 1 может быть реализовано как подпространство физиче­ ского подпространства при с? = 26, а₀ = 1.

б. Покажите, что при d ^ 25 и ао = 1 среди решений урав­ нений L/i|i|?>—0 (п>6), (L_o—1) |i|)>— 0 отсутствуют состояния с отрицательной нормой.