270 Глава 16

связей второго рода с помощью скобок Дирака (в отсутствие фиксации калибровки остаются только связи первого рода pt = 0). Дираковские скобки для р, q, ч\, £ и р: можно получить из вида кинетического члена в выражении (16.3.6.10). В явном виде находим

[/. Рв] = ⁶в> (16.3.6.11а)

_| ft] =-|-А, (16.3.6.116)

=6£; (16.3.6.11b)

все остальные скобки Дирака обращаются в нуль. Вторым пре­имуществом проведенного переопределения Х^А и 0 является то, что в новых переменных скобки Дирака имеют канониче­ский вид. (В соотношении (6.3.6.11в) а и Ь — 50 (8)-индексы» соответствующие световым майорана-вейлевским спинорам. От­метим, что Ti также имеет лишь 8 независимых компонент. Скобки Дирака для него могут быть записаны в виде (16.3.6.116), поскольку пц тождественно коммутирует со всем остальным.)

Теперь мы готовы к тому, чтобы наложить калибровочное условие светового конуса и ограничить теорию ее истинными физическими степенями свободы. На этом этапе мы возвра­щаемся к более традиционным обозначениям п~+у+ и г-*-у~*

Световые калибровочные условия имеют вид

Х+ = _р+т, _Y⁺9 = 0. (16.3.6.12)

Первое условие фиксирует репараметризации. Второе замора­живает фермионную калибровочную инвариантность; оно экви­валентно условию

= 0. (16.3.6.13)

Это допустимое калибровочное условие, так как det[£, Pz]

Связь pj_ip^A=O можно разрешить и выразить р- как функ­цию р+ и р^{\

P~⁼WrT,^²> *=1. 2, .... 8. (16.3.6.14)

Действие в световой калибровке получается при подстановке уравнений (16.3.6.12), (16.3.6.14) и p_t = 0 в выражение (16.3.6.10), что дает

р_и р+, и-, тП = $ dx [_Piq* - р⁺й'+ i ^2 £ r|V - нЛ ,

(16.3.6.15а)

Суперструна 271

где

> (16.3.6.156)

i и~ = Х- — р~%. ' (16.3.6.15в)

В выражении (16.3.6Л5а) а -~ £О(8)-спинорный индекс, ассо­циированный с представлением 8_S (см. приложение В). Для удобства в дальнейшем отметим, что в световой калибровке tj связан с 9 следующим образом:

^ = ^/^+"9. (16.3.6.16)

Множитель л/р⁺ возникает вследствие изменения масштаба ()^1/2

Вид скобок Дирака в световой калибровке определяется из кинетического члена выражения (16.3.6.15а):

,p⁺] = -l, №. ifl = —£jf ** (16.3.6.17)

{все остальные скобки равны нулю).

Упражнение. Исключите импульсы pi из выражения (16.3.6.15а) путем использования уравнений движения для них. Результат сравните со светокалибровочным действием второго порядка для суперструны, полученным в разд. 16.1.8, в предпо­ложении эффективного вымораживания степеней свободы (р+и-).

Заряды Пуанкаре в световой калибровке получаются при подстановке световых калибровочных условий и связей в вы­ражения (16.3.2.2а) и (16.3.2.26):

Р⁺=^р⁺, ?¹ = р\ Р~ = р~, (16.3.6.18а)

Af«/ = pU'j/l + -Ц[?- -nV'Tb (16.3.6.186)

АР- =^~

(16.3.6.18г) М~+ = — у Р⁺«", (16.3.6.18д)

где р~ определяется разложением (16.3.6.14). Выражение (16.3.6.186) выведено с использованием соотношения

=o, (16.3.6.19)

справедливого в калибровке светового конуса.

272 Глава 16

Матрицы y^i! в выражениях (16.3.6.186) и (16.3.6.18в) яв­ляются 8><8-генераторами представления 8_S группы SO (8), индуцированного на восьмимерном пространстве светокалибро-вочных майорана-вейлевских спиноров 32Х32-матрицами y'L Они, разумеется, антисимметричны. Подробнее этот вопрос рас­смотрен в работе [67].

Чтобы записать выражение для суперзаряда, удобно раз­бить его на две неприводимых SO (8) -компоненты в соответ­ствии с выражением

Q = Q₊+Q__, (16.3.6.20а)

где

Y~⁺Q Q y"⁺Q (16.3.6.206)

Q+ принадлежит спинорному представлению 8_S группы SO(8), a Q__—представлению 8_С (см. приложение В; отметим, что Q обладает киральностью, противоположной киральности 9). После соответствующей перенормировки получаем

Q% = 2^тл/р^Г if, (16.3.6.21a)

; (I6.3.6.216)

8 X 8-матрицы {y^l)^aa приведены в работе [67]. Из соотношения (16.3.6.21а) видно, что спинорная переменная ц^а по существу является суперзарядом.

Светокалибровочные компоненты суперзаряда удовлетворяют классическим соотношениям со скобками Пуассона, соответ­ствующим суперсимметрии светового конуса [67]:

[Qi, Q^b+] = -2ip⁺d^ab, (16.3.6.22a)

[Ql, Qt\ = -2tp~6^d\ (16.3.6,226)

⁶p/. (16.3.6.22b)

К квантовой теории переходят путем замены переменных Х\ р^ и~, р⁺ и г\^а операторами, удовлетворяющими коммута­ционным соотношениям

tpi — pjX¹ = /б}, и~р⁺ — р⁺и~ = - /, (16.3.6.23а) ^ь ?1\^а = 6^аЬ, а==1, 2, ..., 8 (16.3.6.236)

(= i дираковские скобки; остальные коммутаторы равны нулю).

Эти коммутационные соотношения реализуются в положи­тельно определенном гильбертовом пространстве, получаемом

Суперструна 273

путем образования прямого произведения гильбертова простран­ства для соотношений (16.3.6.23а) на гильбертово пространство для соотношений (16.3.6.236).

Система (16.3.6.236) представляет собой клиффордову ал­гебру с восемью генераторами; таким образом, пространство ее неприводимого представления 16-мерно. Следовательно, для заданного импульса суперчастица может находиться в одном из 16 различных состояний. Можно показать, что эти состоя­ния соответствуют определенной спиральности и распадаются на представления 8_€ + 8₀ группы 50(8) [67]. Имеется восемь спинорных и восемь векторных состояний, как требует десяти­мерная суперсимметрия [58, 67, 68]. Трансформационные свой­ства состояний при действии группы симметрии SO (8) сле­дуют, разумеется, из вида 50(8)-генераторов Mⁱ³', выраженных через основные канонические переменные.

В случае суперструны супергенераторы Пуанкаре тоже со­держат вклад от возбужденных мод. Но последние аннигили­руют основное состояние, которое соответственно описывается тем же квантовым пространством, что и суперчастица.

Упражнение. Запишите действие 50 (8)-генераторов на 16 клиффордовых состояний. Разложите 50 (8)-представление, которое они образуют, на его неприводимые компоненты.