66 Глава 6

испускает фермионную частицу, то она становится бозонной струной. Вершины таких процессов устроены гораздо сложнее, так как две струны в них описываются различными осцилля­торами.

Общее выражение для вершины испускания фермиона долж­но иметь вид

^ №, г) = ₂<0 t (0 | О (Л, г) | 0>! | Q)_d. (6.36)

Явная форма оператора 0{k_yz) достаточно сложна. Она впервые была получена Корриганом и Оливом [62]. Подробно­сти читатель может найти в их работе. После больших усилий была построена четырехфермионная древесная амплитуда [63]. Дальнейшее продвижение столкнулось с очень большими трудностями, но современные методы, учитывающие вклад ду­хов, могут улучшить положение.

Рассмотренный нами в этой главе операторный формализм также оказывается полезным и в случае суперструнных теорий. Так как суперструнные теории можно получить из модели Ра-мона — Неве — Шварца, используя определенный проекционный оператор, операторный формализм можно распространить и на такие теории.

Тем не менее до сих пор не существует суперсимметричного ковариантного операторного формализма для теорий супер­струн и гетеротических струн¹), хотя ц калибровке светового конуса операторный формализм для этих теорий существует [64]. Если мы подставим в вершинный оператор (6.8) и в про-пагатор вместо х&{о> т) разложение в калибровке светового конуса (2.42), то получим формализм, в котором имеются только физические состояния. Недостаток такого формализма состоит в том, что х~ имеет сложный вид-—это квадратичная функция по х¹. Но в том случае, когда количество внешних час­тиц не превышает d, мы можем преобразованием Лоренца пе­рейти в такую систему отсчета, где kt = O. В этой системе от­счета вершинные операторы записываются в терминах только поперечных координат и импульсов. Это приводит к тому, что в результате вычислений будут получены неинвариантные от­веты даже для элементов S-матрицы. В конечных выражениях нужно искусственно восстанавливать лоренц-инвариантность.

Формализм, аналогичный только что рассмотренному, был использован при вычислении однопетлевых диаграмм в супер­струнах [65]; совсем недавно подобный формализм был развит для гетеротической струны [30].

См. предисловие к русскому изданию. — Прим. ред.

Глава 7

Полевая теория свободных суперструн

Самым результативным подходом, применяемым для описания взаимодействий точечноподобных частиц, является формализм вторичного квантования, или квантовая теория поля. Рассмот­рим скалярную частицу, заданную своими координатами в фа­зовом пространстве х& и р^. Каждому оператору из набора ком­мутирующих операторов фазового пространства, например х*\ поле ф ставит в соответствие числовое значение. Лоренцевы генераторы действуют на поле ф(х^) по следующим правилам: действие х& на поле есть просто умножение на число, а р^ дей­ствует как —id/dx*. Тогда переменную х^^ь можно считать очис-лом (собственным значением оператора х^). Построение фор­мализма вторичного квантования осуществляется далее введе­нием импульса п(х), канонически сопряженного полю ф(х). После этого генераторы алгебры Лоренца могут быть представ­лены в виде

^³ (7.1)

Легко написать выражение для действия поля ф(х), описы­вающее произвольное число свободных распространяющихся частиц; добавление к такому действию лоренц-инвариантных полиномов по ф(х) приводит к появлению взаимодействий.

Построение полевой теории суперструн осуществляется ана­логичным образом. Начнем с рассмотрения суперпуанкаре-ал-гебры (4J0) —(4.12) для случая суперструн типа 116. Мы должны переписать генераторы алгебры в терминах максималь­ного набора коммутирующих координат. Для бозонных коор­динат это легко проделать; мы можем взять просто х^с(в), х~, в качестве такого набора, а импульсы представить в виде

_дх

Что касается фермионных координат Sf^a, то для них мы не можем проделать то же самое, поскольку они не антиком-мутируют сами с собой в исходном представлении. Чтобы

68 Глава 7

преодолеть эту трудность, введем другие переменные:

(7.2)

удовлетворяющие следующим соотношениям:

{e° (а), В⁶ (a')} = {d^a (a), </ (a')} = 0, (7.4)

{6^a (a), d" (a')} = 6^a66 (a - a). (7.5)

Тогда в качестве координаты можно взять 6^a(a), а <i^a(a) представить в виде 6/60^a(a). Поскольку в определении 9^а и d^a входит оператор р+, который имеет нетривиальные коммутаци­онные соотношения с генераторами /'- и /+~, то переписать ал­гебру в терминах д^а и d^a не так просто. Правильное новое пред­ставление задается выражениями [66,67]

do (ябб ^xW + dd

⁺~ -= x⁺h - ix~d_ -j\do |9^a, d^a\ + 21, (7.6)

Г ^~~\da [{x~ (a), 6'} - i У, A (a)} +

_{-) Q - 4 f ].}

Оператор х~(а), входящий в выражение для /-*, определяется формулой

х'~ (а) = - — (х^п6* + e'd). (7.7)

Полевая теория свободных суперструн 69

Соответствующее поле для данного представления имеет вид Ч? [х+, х-, х¹ (а), 0^а (а) ], где координаты являются с-числами. Оказывается, что это представление приводимое. Введем фурье-образ

[х, X] = $ £>⁸9 (а) ехр ( $ с1оХ^а0^а) W [х, 9] (7.8)

и наложим ограничение

¥ [х, Я] = W [х, 6]*, (7.9)

где комплексное сопряжение понимается в смысле 6* — Условие (7.9) связывает ?* и Ч', а это приводит к тому, что при варьировании полей в действии поле 4^я* не должно варьиро­ваться независимо от Ч?. Кроме того, наложим условие, смысл которого заключается в том, что начало отсчета вдоль струны можно выбирать произвольно:

W [х (а + а₀), 9 (а + а₀)] = Ч?[х (а), 6 (а)]. (7.10)

С точки зрения разложения по модам это условие означает, что TV = ft при действии на поле.

Следующий этап — вторичное квантование теории, которое осуществляется наложением канонических коммутационных со­отношений на поле и его сопряженный импульс. В калибровке светового конуса в качестве импульса по существу можно взять само поле, точнее д_Ч^г. (Заметим, что cL — производная не по временной, а по пространственной координате.)

Введем обозначение для конфигурации (х~, х\ 0^а) = 2 и по­требуем выполнения условия

4 (7.11)

где

Л¹⁷ [2„ S₂] _sб (х_Т - х-) J de_otf [х\ (а) -х'₂(а + <т₀)] X

(7.12)

В коммутаторе (7.11) производная д_ необходима для получе­ния правильных свойств симметрии. Использовать простран­ственную производную поля в качестве импульса можно только в калибровке светового конуса.

Используя каноническое коммутационное соотношение (7.11), можно показать, что генераторы суперпуанкаре-алгебры пред­ставляются в виде

G = i \ DZd^W [2] g^ [2], (7.13)

где g — генератор в представлении (7.6).

70 Глава 7

Зная гамильтониан р~, мы можем написать уравнение дви­жения

d₊'¥=-;h^x¥ (7.14)

и построить действие

i \ Hdx⁺.

(7.15)

Если проделать аналогичный анализ для соответствующей полевой теории точечных частиц, то можно видеть, что помимо того представления суперпуанкаре-алгебры, которое возникает из соответствующего струнного представления в пределе стяги­вания струны в точку, существует бесконечное число других представлений [67]. Эти представления можно интерпретиро­вать следующим образом: они соответствуют различным чле­нам в действии, которые содержат высшие производные П², П³ и т. д. и являются возможными контрчленами к кинетическому действию. Такие контрчлены обязательно порождаются во взаи­модействующей квантовой теории, если они не запрещаются ка­кой-нибудь симметрией. Такой симметрии, по-видимому, не су­ществует в кцантовой теории поля. Этот факт является веским аргументом против квантовой теории поля. В противополож­ность этому в теории суперструн можно доказать, что представ­ление (7.13) единственно, и любые возможные контрчлены к ки­нетическому действию запрещены [67].

Выражения (7.13) и (7.15) являются несколько формаль­ными, и им следует придать точный смысл. Это можно сделать, если представить их в виде бесконечных разложений по модам. Такие разложения для координат и функциональных производ­ных имеют вид

х* (а) = х¹ + у Y, 4" (^an^e2tna + K^e~^2ino) =

п ф О оо

(^7Л6>

6* (а) =

_а) = Л f_^_ + / V (^Лфш + ai,

К пфО

(7.17)

Полевая теория свободных суперструн 71

где

£7r« £) (7Л9)

И

ее

е^а (а) = -7=4=- У (si!

М= —оо оо оо

_{cos 2fia+®°sin}

и—оо

оо

, (7.21)

где

(7.22)

(7.23)

Координаты jt^, jci, б£ и 0« являются координатами гармо­нических осцилляторов. Тогда поле ^¥[x(<r), G(a)] может быть разложено по компонентным полям, если использовать полный набор волновых функций гармонических осцилляторов ур_п(х) и соответствующие волновые функции %_{п и}, (Э, Э) для антиком-мутирующих переменных [66]:

(а), Э (а)] = ₍ Z ^ (_ftftf nj, m₅, wj) (*₀, 9₀) X

/• ^ms' ^m

X П %. {х_к) Ц *„,, (*,) Ц Х_и , „' (В,, в₍). (7.24)

Функциональная мера в действии (7.15) выбирается такой, чтобы после интегрирования по координатам гармонических осцилляторов получалось следующее действие:

i

2

^ео) ^F^¹ ♦{») К- ^ео)1 • (7-25)

72 Глава 7

В этом выражении символ {п} обозначает набор числовых индексов каждого бозонного и фермионного осцилляторов. Пер­вая сумма в (7.25) содержит только бозонные поля, а вторая — только фермионные. Следовательно, действие является суммой обычных кинетических действий для всех компонентных полей струны.

Если мы обратимся теперь к открытым струнам и струнам типа Па, то в этих случаях описанное выше построение исполь­зовать нельзя. Действуя по аналогии с построением безмассовых, супермультиплетов в гл. 4, мы можем найти 5О(8)-ковариант-ный формализм с векторными или тензорными суперполями. На такие поля имеют высокую степень приводимости и должны удовлетворять довольно сложным условиям связи, которые де­лают формализм неприемлемым. Работая в суперполевом фор­мализме, следует попытаться использовать скалярные супер-поля, чтобы избежать высокой степени проводимости компо­нентных полей. Это достигается путем нарушения явной SO (8) -инвариантности до инвариантности относительно груп­пы SU{4)XU(l) [68]. Рассмотрим два 5О(8)-спинора А^а и В^а. Введем SU(4)-спиноры Л^а->(/Ь, А^л), где Л = 1, ..., 4, и анало­гично для В^а\ тогда

А^аВ^а = ~ (Л_АВ^А + Л^ЛВ_А). (7.26)

Спиноры S^la и 5^2а, присутствующие в киральных теориях, распадаются на пары SU(4)-спиноров:

5^1я-^5_л,5^л, (7.27)

S^2a->S_A, 5^Л, (7.28)

а в теориях типа На — на пары

5^и->5_л>5^л, * (7.29)

S^2d-+S^A, §_A. (7.30)

Используя антикоммутатор

{S_A (a), S^B (а')} — яблб (а - а') (7.31)

и аналогичные антикоммутаторы для других S, определим ко­ординаты и производные по следующим правилам:

6_Л = -j=L=r S_A9 (7.32)

б

66

А

Полевая теория свободных суперструн 73

6 -/Гол _(7>35)

⁽⁷-³⁴⁾

После этого алгебра (4.10) — (4.12) для случая суперструн типа На переписывается в терминах координат и вариационных производных (7.32) — (7.35). Иногда бывает удобно ввести так­же S£/(4)X U(l)-компоненты для SO(8)-вектора л'*:

*'-►(*', *«, x^L\ /==1, ..., 6,

В теории открытых струн в качестве поля можно взять ска­лярное поле Ф^аЬ[х(о), 0 (а), 8 (а)], а в теории замкнутых

струн — поле W[x(a)_tQ(a)B(a)].

Граничные условия на координаты приводят к различным случаям полей. Кроме того, поля в рассматриваемых случаях открытых струн и струн типа Па также являются приводимы­ми, и, следовательно необходимо наложить на них "усло­вия вещественности", аналогичные соотношению (7.9). Струны типа I должны также удовлетворять условию неориентируе­мости:

Ф^аЬ [х (а), 6 (а), 8 (а)] = - Ф^Ьа [х (я - а), б (я — а), 6 (я - а)], (7.36) W [х (а), 9 (а), ё (о)] = ¥ [х (- а), б (- а), 6 (- а)]. (7.37)

После этого можно ввести канонические коммутационные соотношения для полей и переписать суперпуанкаре-алгебру во вторично квантованном виде, а также определить гамильтониан и лагранжиан теории. Как и в рассмотренном выше случае су­перструн типа Пб, можно доказать, что построенные таким об­разом представления суперпуанкаре-алгебры являются един­ственными [67], и допустимых контрчленов к кинетическому действию, отличных от него самого, не существует.

На этом этапе следует подвести некоторые итоги, касаю­щиеся квантовых струн. В разложении (7.24) мы определили локальную точечноподобную структуру для каждого квантового состояния, в котором может находиться струна. Это можно по­нять, если считать каждую точку струны отдельным точечно-подобным объектом, возбуждения которого задают определен­ные состояния. (Такие состояния не являются собственными векторами массового оператора и, следовательно, не являются истинными состояниями, но их гораздо легче представить себе,

74 Глава 7

чем гармонические моды, которые являются истинными состоя­ниями.) Но когда струна распространяется, все состояния (или точки на струне) распространяются когерентно, поэтому мы должны рассматривать протяженный объект. В следующей главе мы исследуем взаимодействия и рассмотрим трехструн­ные вершины. Если каждая струна спроектирована на конкрет­ное состояние, то мы получаем трехточечные функции.

Последнее замечание касается грассмановых координат, входящих в суперполе 4?[x(<j), 0(ог)]. Здесь мы не можем про­вести разложение в ряд Тейлора и получить конечное число полей ^[^(а)], как в случае суперполей в теории точечных частиц.