Глава 8

Полевая теория взаимодействующих суперструн типа Пб

Формулировка теории струн в калибровке светового конуса яв­ляется вполне подходящей для введения взаимодействий. В этом формализме один из генераторов алгебры р- является гамиль­тонианом, поэтому возникает естественный вопрос, можно ли добавить к гамильтониану члены с взаимодействием, сохранив при этом алгебру. Оказывается, что все генераторы алгебры, которые уводят систему с плоскости квантования х⁺ = const, должны содержать члены с взаимодействиями. Эти генераторы называются гамильтонианами или динамическими генератора­ми (в противоположность линейно-реализованным генераторам, которые называются кинематическими генераторами) по терми­нологии Дирака [69].

Точный вид членов взаимодействия мы получим в два этапа. Сначала мы представим генераторы в функциональной форме. Динамические генераторы выпишем в наиболее общей форме и потребуем, чтобы алгебра была замкнутой. На этой стадии построения мы сможем объединить все выражения в одно об­щее выражение. Затем на втором этапе, чтобы установить точ­ный смысл этого общего выражения, мы должны перейти к раз­ложению по модам и проверить, правильно ли определено каж­дое взаимодействие. После всего этого мы можем вернуться обратно к функциональной форме генераторов.

Запишем в общем виде вклад трехструнных взаимодействий в произвольный генератор (для случая суперструн типа Пб):

_X D2₂d__W [2, + 2₂] g (а„ а₂) ЧГ [2,] V [2₂]. (8.1)

В этом выражении конфигурации Si и 2!₂ имеют одну общую точку. Конфигурация Si+22 является объединением конфигура­ций 2i и 2₂. Чтобы взаимодействие было локальным, оператор £(^аь^а2) должен действовать в точках cjj и а₂, которые распо­ложены бесконечно близко к общей точке конфигураций 2i и 2₂, называемой также точкой взаимодействия. Если мы пе­рейдем в выражении (8Л) к разложению по модам, то увидим, что в разложении необходимо ввести сглаживающие функции, чтобы подавить расходимость вблизи точки взаимодействия. Но

76 Глава 8

при проверке замкнутости суперпуанкаре-алгебры эти функции не существенны.

Исследуя алгебру на замкнутость, мы будем иметь дела с коммутатором двухструнного и трехструнного операторов. Пусть

А = i J D2d^W [S] J daa (a) W [S], (8.2)

= t J Z>2, DS₂ cL^ [S, + ZJ 6, (a,) ¥ И 6₂ (a₂) У [S₂], (8.3)

причем функциональные операторы можно интегрировать по частям, т. е. оператор, действующий на ^[Si] или на [] можно перекинуть на ^[St + ^J (с соответствующим нием знака). С учетом этого мы получаем ответ:

[Л, В] = г^ DSj DZ₂ д„У [Sj + S₂] X

X \do {[b_{ (a₍), a (a)] W [S,] 6₂ (a₂) W

b_{ (a,) У Й] [6₂ (a₂), a (a)] ^F [2₂]} (8.4>

при условии, что а (а) не содержит д-. Производная д- требует особого обращения. Это можно понять на простом примере:

= J

_X

_{Х S}

Можно ожидать, что трехструнная вершина содержит чле­ны не более чем с двумя поперечными функциональными про­изводными, так как безмассовая трехточечная амплитуда вклю­чает трехгравитонную вершину, но здесь мы допускаем самое общее выражение для гамильтониана.

Мы будем действовать так же, как при построении обычной суперполевой теории в калибровке светового конуса. Начнем

с тех частей динамических генераторов суперсимметрии Q2^a и гамильтониана р-_у которые содержат трехструнные взаимо­действия, и рассмотрим их взаимные коммутаторы, а также их коммутаторы с кинематическими генераторами. Введем обозна­чения

t =¹ \ ^Д2. -°²2 <>JS [2, + S₂] q\ (a,, a₂) V [2,] ЧГ [2₂], (8.6) _s = j J DZ, DS2 д_У [2, + S₂] A (a,, aj) T [2,] ¥ [2₂]. (8.7)

Полевая теория взаимодействующих суперструн типа Пб 77

Теперь нужно просмотреть различные (анти) коммутаторы в порядке нарастания сложности. Коммутаторы {Ял^а_У Яв^а},

\Qi^a, Н], [j⁺\ Qa^u] и [/⁺\ Я] дают ограничение на функцио­нальные производные, а именно они должны появляться

только в комбинациях d^a = d\jd-\ — dtjd-ъ и Ь¹ = 6j/d~i — бЦд^.

Из {0Г°, Q7^b} заключаем, что x_t появляется только в комби­нации х¹ = х\/д_₁—x\jd_₂. Из этого коммутатора также сле­дует, что функциональные операторы не должны иметь явной

зависимости от 0. Кроме того, из коммутатора f/⁺~, QJ^a] получаем # д_ + 1/2 # d = 3/2.

Используя полученные ограничения, можно попытаться

найти более конкретный вид оператора q_A{^_{1 ff₂). Тот факт,

что коммутаторы {QI^a, Яв^Ь} должны быть пропорциональными 6^аЬ> дает очень сильное ограничение. Начнем с той части в операторе q^u_A, которая не содержит спинорных производных,

и далее будем последовательно наращивать число таких произ­водных. В результате долгих и кропотливых вычислений, а так­же многократного использования свойств представления SO(8), получим однозначный ответ для h:

п=.О, 2, 4, 6, 8

где

р' = —i&' + x'', р'з^/б' + х", (8.9)

^и » °a,a₂ 2

(8.10)

= 8 V'

... a₆ 2-6! oi ... a₃'a_Ta₈'

... аз 8! ai •••

Использованные здесь матрицы определяются соотноше­ниями

Теперь остается установить точный вид членов, содержащих д_. Для этого надо исследовать различные коммутаторы с Л". Это очень длинные и сложные вычисления, но они должны быть проведены, чтобы быть уверенным в сохранении всей алгебры. Для нахождения только cL-структуры можно использовать